Derivaten - Mathority

Hier leggen we uit hoe je alle soorten functies kunt afleiden. Je vindt de formules voor alle afgeleiden, vergezeld van voorbeelden en stapsgewijze afgeleide oefeningen.

Wat zijn afgeleide producten?

Afgeleiden zijn wiskundige regels die worden gebruikt om functies te bestuderen. In het bijzonder is de afgeleide van een functie op een punt het resultaat van een limiet en geeft het gedrag van de functie op dat punt aan.

De afgeleide van een functie wordt uitgedrukt met het hoofdteken ‘ , dat wil zeggen dat de functie f'(x) de afgeleide is van de functie f(x) .

Geometrisch gezien is de betekenis van de afgeleide van een functie op een punt de helling van de raaklijn aan de functie op dat punt.

De wiskundige definitie van de afgeleide van een functie is als volgt:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

De afgeleide van een functie wordt echter gewoonlijk niet berekend met behulp van de bovenstaande formule, maar differentiatieregels zijn van toepassing afhankelijk van het type functie dat het is. Hieronder worden alle afleidingsformules uitgelegd.

afgeleide formules

Nadat we de definitie van derivaten hebben gezien, zullen we zien hoe ze worden gemaakt, waarbij elk type derivaat met een voorbeeld wordt uitgelegd. Het doel van dit bericht is dat je het concept van afgeleiden goed begrijpt, dus als je uiteindelijk twijfels hebt over hoe een functie is afgeleid, kun je ons dit in de reacties vragen.

afgeleid van een constante

De afgeleide van een constante is altijd nul, ongeacht de waarde van de constante.

Om de afgeleide van een constante functie te vinden, hoef je dus geen wiskunde uit te voeren; de afgeleide is alleen nul.

Bekijk de volgende praktische voorbeelden van afgeleiden van constanten:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Afgeleide van een lineaire functie

De afgeleide van een lineaire functie is de coëfficiënt van de eerstegraadsterm, dat wil zeggen de afgeleide van een lineaire functie f(x)=Ax+B is gelijk aan A

Bekijk de volgende voorbeelden van hoe dit type functie is afgeleid:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

afgeleid van een macht

De afgeleide van een macht , of potentiële functie, is het product van de exponent van de macht maal het grondtal verheven tot de exponent minus 1.

Om een macht af te leiden, vermenigvuldigt u daarom eenvoudigweg de functie met de exponent en trekt u één eenheid af van de exponent.

De afgeleide van de macht x in blokjes is bijvoorbeeld:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Je kunt hier oefenen met oefeningen (en moeilijkere) van dit type afgeleide:

➤ Zie: opgeloste oefeningen voor de afgeleide van een macht

afgeleid van een wortel

De afgeleide van een wortel, of irrationele functie, is gelijk aan één gedeeld door het product van de index van de wortel maal dezelfde wortel, waarbij 1 wordt afgetrokken van de exponent van de wortel.

Als voorbeeld zie je hieronder de afgeleide van de vierkantswortel van x opgelost:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Zie: opgeloste oefeningen voor de afgeleide van een wortel

Afgeleide van een exponentiële functie

De afgeleide van een exponentiële functie hangt ervan af of de basis het getal e of een ander getal is. Er zijn daarom twee formules om dit type functie af te leiden en je moet degene gebruiken die overeenkomt met de machtsbasis:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Hieronder zie je twee opgeloste afgeleiden van dit soort functies:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Zie: opgeloste oefeningen voor de afgeleide van een exponentiële functie

Afgeleide van een logaritmische functie

De afgeleide van een logaritmische functie hangt af van de basis van de logaritme, want als de logaritme natuurlijk is, moet een formule worden toegepast om de afgeleide te vinden en als de logaritme een ander getal als basis heeft, moet een andere regel worden gebruikt.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

De afgeleide van de logaritme met grondtal drie van x is bijvoorbeeld:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Zie: opgeloste oefeningen voor de afgeleide van een logaritmische functie

Trigonometrische derivaten

De drie belangrijkste trigonometrische afgeleiden zijn de afgeleide van de sinusfunctie, de cosinusfunctie en de tangensfunctie, waarvan de formules als volgt zijn:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Logischerwijs zijn er verschillende soorten trigonometrische functies, zoals secans, cosecans, cotangens, hyperbolische trigonometrische functies, inverse trigonometrische functies, enz. Maar de meest gebruikte regels voor driften zijn de drie hierboven.

regels voor verwijzingen

Wanneer we bewerkingen met functies hebben, worden de afgeleiden anders opgelost. Om dit te doen, moeten we de differentiatieregels gebruiken, waarmee we optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van functies kunnen afleiden.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Om derivaten met bewerkingen op te lossen, moeten we daarom niet alleen de afgeleide regels toepassen, maar moeten we ook de formule voor elk type derivaat gebruiken.

Zodat u kunt zien hoe u dit type afgeleide kunt vinden, zullen we hieronder een aantal oefeningen oplossen:

Afgeleide van een som:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Zoals je kunt zien, werd voor het oplossen van de afgeleide van de hele functie de formule voor de afgeleide van een macht toegepast op elke term van de som.

Afgeleid van een product:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

De afgeleide van de eerste term van het product is 4 ^x ln(4), en de afgeleide van de sinus is de cosinus. De afgeleide van vermenigvuldiging is dus:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Afgeleide van een quotiënt:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

In de teller en de noemer van de breuk hebben we een polynoom, dus om de afgeleide te krijgen moeten we de formule gebruiken voor de afgeleide van een quotiënt, de formule voor de afgeleide van een optelling (of aftrekking) en de formule voor de afgeleide van heeft macht:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Kettingregel

De kettingregel is een formule die wordt gebruikt om samengestelde functies af te leiden. De kettingregel stelt dat de afgeleide van een samengestelde functie f(g(x)) gelijk is aan de afgeleide f'(g(x)) vermenigvuldigd met de afgeleide g'(x) .

Dit begrip van afgeleiden is over het algemeen moeilijker te assimileren, daarom zullen we als voorbeeld stap voor stap een oefening oplossen:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

In feite is het een samenstelling van functies omdat we de functie x ³ binnen de sinusfunctie hebben. Daarom moeten we de kettingregel gebruiken om de afgeleide van de samengestelde functie te vinden.

Aan de ene kant is de afgeleide van de sinus de cosinus, dus de afgeleide van de externe functie zal de cosinus zijn met hetzelfde argument als de sinus:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

En aan de andere kant berekenen we de afgeleide van x ³ met behulp van de formule voor de afgeleide van een macht:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

De afgeleide van de samengestelde functie met gehele getallen is dus het product van de twee afgeleiden:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Zie: opgeloste afgeleide oefeningen met de kettingregel

Differentieerbaarheid van een functie

De continuïteit en differentieerbaarheid van een functie op een punt zijn als volgt gerelateerd:

Als een functie op een bepaald punt differentieerbaar is, is de functie op dat punt continu.
Als een functie op een bepaald punt niet continu is, is deze op dat punt ook niet differentieerbaar.

Het omgekeerde van deze stelling is echter onjuist, dat wil zeggen dat het feit dat een functie op een bepaald punt continu is, niet betekent dat deze op dat punt altijd differentieerbaar is.

Je kunt ook zien of een functie op een bepaald punt in de grafiek differentieerbaar is:

Als het een glad punt is, is de functie op dit punt differentieerbaar.
Als het een hoekpunt is, is de functie continu maar op dit punt niet differentieerbaar.

Vloeiend punt op x=0:
continue en differentieerbare functie op dit punt.

Hellend punt op x=2:
functie continu maar niet differentieerbaar op dit punt.

Je kunt ook zien of een stuksgewijze functie op een bepaald punt differentieerbaar is door de laterale afgeleiden op dat punt te berekenen:

Als de laterale afgeleiden op een punt niet gelijk zijn, is de functie op dat punt niet differentieerbaar:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Het is niet differentieerbaar in

$x_o$

Als de laterale afgeleiden op een punt samenvallen, is de functie op dat punt differentieerbaar:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Ja, het is af te leiden in

$x_o$

Laten we nu een voorbeeld bekijken van het berekenen van de afgeleide van een functie die stuksgewijs op een punt is gedefinieerd:

Bestudeer de continuïteit en differentieerbaarheid van de volgende stuksgewijze functie op het punt x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

De functies van beide secties zijn continu in hun respectieve intervallen, maar het is noodzakelijk om te controleren of de functie continu is op het kritieke punt x=2. Om dit te doen, lossen we de laterale grenzen van de functie op op het punt:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

De laterale grenzen op het kritieke punt gaven ons hetzelfde resultaat, dus de functie is continu op het punt x=2.

Zodra we weten dat de functie continu is op x=2, zullen we op dit punt de differentieerbaarheid van de functie bestuderen. Om dit te doen, berekenen we de laterale afgeleiden van de stuksgewijs gedefinieerde functie:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Nu evalueren we elke laterale afgeleide op het kritieke punt:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

De twee laterale afgeleiden gaven ons hetzelfde resultaat, dus de functie is differentieerbaar op x=2 en de waarde van de afgeleide is 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Aan de andere kant, als de laterale afgeleiden ons een ander resultaat hadden opgeleverd, zou dit betekenen dat de functie niet differentieerbaar is op x=2. Met andere woorden, de afgeleide zou op dit punt niet bestaan.

➤ Zie: opgeloste oefeningen voor differentieerbaarheid van een functie