Onbepaaldheid oneindig min oneindig (∞-∞)

In dit artikel leggen we uit hoe je de oneindige minus oneindige (∞-∞) onbepaaldheid kunt oplossen. Je vindt voorbeelden van deze onbepaaldheid met verschillende soorten functies en daarnaast kun je oefenen met oefeningen die stap voor stap worden opgelost van onbepaaldheid oneindig min oneindig.

Het oplossen van onbepaaldheid oneindig min oneindig

Wanneer de limiet van een functie oneindig min oneindig geeft, betekent dit dat het een onbepaaldheid is (of een onbepaalde vorm). Dat wil zeggen dat de limiet van een functie die onbepaaldheid minus oneindig geeft, niet kan worden bepaald door de directe berekening uit te voeren, maar dat er eerder een voorbereidende procedure moet worden uitgevoerd.

Om de oneindige minus oneindige onbepaaldheid op te lossen, moeten we daarom eerst een procedure toepassen die afhangt van het type functie: als het een polynomiale functie is, kan deze door vergelijking worden berekend, als het een rationale functie is, moeten breuken worden gereduceerd tot een gemeenschappelijke noemer, en als het een irrationele functie is, moet deze worden vermenigvuldigd met de conjugaat.

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr)=\infty-\infty

Vervolgens zullen we met voorbeelden zien hoe de onbepaaldheid oneindig min oneindig in elk type functie wordt opgelost.

Oneindige minus oneindige onbepaaldheid in polynomiale functies

In een polynoom is de onbepaaldheid oneindig minus oneindig gelijk aan de hoogste orde oneindigheid, dat wil zeggen dat de term van de hoogste orde het positieve of negatieve teken van de oneindigheid bepaalt.

Kijk bijvoorbeeld naar de limiet van de volgende polynoomfunctie die de onbepaalde vorm oneindig minus oneindig geeft:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^2-3x\bigr)=(+\infty)^2-3\cdot (\infty)=+\infty-\infty=+\infty

In dit geval is de term x 2 van de tweede graad en de term 3x van de eerste graad, dus de monomial x 2 is dominant omdat deze van hogere orde is. Daarom is het resultaat van de limiet oneindig, verkregen uit deze term.

Kijk eens naar deze andere voorbeelden:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^5-4x^2-3x\bigr)=(+\infty)^5=+\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(-3x^2-5x\bigr)=-3\cdot (-\infty)^2=-3\cdot \infty=-\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^7-5x^4+x^3-2x-10\bigr)=(+\infty)^7=+\infty\end{array}

Kortom, als we grenzen stellen aan oneindigheid in polynomiale functies , moeten we oneindigheid simpelweg vervangen door de term van de hoogste graad , waarbij we alle andere termen negeren.

Onbepaaldheid oneindig min oneindig met breuken

Wanneer de onbepaaldheid oneindig min oneindig optreedt bij het optellen of aftrekken van algebraïsche breuken , moeten we eerst de breuken optellen of aftrekken en vervolgens de limiet berekenen.

Laten we eens kijken hoe we de onbepaaldheid oneindig min oneindig in een functie met breuken kunnen berekenen door stap voor stap een voorbeeld op te lossen:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)

Laten we eerst proberen de limiet te berekenen:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}

Maar we verkrijgen de onbepaaldheid ∞-∞.

Dus eerst moeten we breuken aftrekken. Om dit te doen, reduceren we breuken tot een gemeenschappelijke noemer, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de teller en de noemer van de ene breuk met de noemer van de andere:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}

En nu beide breuken dezelfde noemer hebben, kunnen we ze combineren tot één breuk:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}

We werken in de teller en de noemer:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}

En tot slot berekenen we de limiet opnieuw:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

In dit geval geeft de oneindige onbepaaldheid tussen oneindigheid +∞ omdat de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer.

➤ Zie: wat is oneindig tussen oneindig?

onbepaaldheid oneindig min oneindig met wortels

Wanneer onbepaaldheid oneindig min oneindig optreedt bij radicale optelling of aftrekking , moeten we eerst de functie vermenigvuldigen en delen door de geconjugeerde radicale uitdrukking, en vervolgens de limiet oplossen.

We zullen zien hoe we de onbepaaldheid oneindig min oneindig in een irrationele functie kunnen oplossen met behulp van een stapsgewijs voorbeeld:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)

Laten we eerst proberen de limiet van de functie met radicalen op te lossen:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}

We verkrijgen echter de onbepaalde vorm ∞-∞. Om te weten hoeveel onbepaaldheid oneindig minus oneindig is, moeten we dus de uitgelegde procedure toepassen.

Omdat de functie radicalen heeft, vermenigvuldigen en delen we de gehele functie door de geconjugeerde irrationele uitdrukking:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}

De algebraïsche uitdrukking van de teller komt overeen met de opmerkelijke identiteit van het product van een som door een verschil. Daarom kunnen we de uitdrukking vereenvoudigen:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}

We vereenvoudigen nu de wortel van de limiet, omdat deze in het kwadraat is:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}

We werken met de teller van de breuk:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}

En ten slotte voeren we de berekening van de limiet opnieuw uit:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}

Het resultaat van de limiet is daarom 0, omdat elk getal gedeeld door oneindig gelijk is aan nul.

Opgeloste oneindige minus oneindige onbepaaldheidsproblemen

Oefening 1

Los de volgende limiet op als x plus oneindig nadert:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(7x^2-2x^3)

In deze limiet is de term van de hoogste orde van de derde graad, dus concentreren we ons op de oneindigheid die uit deze term wordt verkregen.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(+7x^2-2x^3)=+\infty^2-\infty^3=+\infty-\infty=\bm{-\infty}

Oefening 2

Bereken de limiet van de volgende polynoomfunctie als x de negatieve oneindigheid nadert:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3-9x^2)

Negatieve oneindigheid in de kubus blijft negatief, maar in het kwadraat wordt het positief. later Hoewel hun tekens worden gewijzigd door de coëfficiënten ervoor:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\\[3ex]=-5(-\infty)^3-9(-\infty)^2=\\[3ex]=-5\cdot (-\infty)-9\cdot \infty=\\[3ex]=+\infty-\infty\end{array}

Vervolgens wordt de onbepaalde vorm oneindig min oneindig gedefinieerd door de hoogste term (-5x 3 ), waaruit we positieve oneindigheid verkrijgen:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\bm{+\infty}

Oefening 3

Bepaal de limiet tot oneindig van de volgende rationale functie:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

Eerst proberen we de limiet te berekenen door oneindig in de functie te vervangen:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}

Maar we eindigen met de onbepaaldheid ∞ – ∞. Daarom herleiden we de breuken tot een gemeenschappelijke noemer:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}

En aangezien beide breuken nu dezelfde noemer hebben, kunnen we ze combineren tot één breuk:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}

We maken de haakjes van de teller:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}

En ten slotte bepalen we de limiet:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

In dit geval geeft de onbepaaldheid ∞/∞ +∞ omdat de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer.

Oefening 4

Los de limiet van de volgende fractionele functie op als x 0 nadert:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

We proberen eerst zoals gewoonlijk de limiet te berekenen:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}

Maar we krijgen de onbepaalde vorm ∞-∞. Daarom moeten we de fracties van de functie terugbrengen tot een gemeenschappelijke noemer.

In dit geval is x 4 een veelvoud van x 2 , dus door simpelweg de teller en de noemer van de tweede breuk te vermenigvuldigen met x 2 krijgen we dat beide breuken dezelfde noemer hebben:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}

We kunnen nu de twee breuken aftrekken:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}

We proberen de limiet opnieuw op te lossen:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}

Maar we eindigen met de onbepaaldheid van een constante gedeeld door nul. Het is daarom noodzakelijk om de laterale grenzen van de functie te berekenen.

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

Concluderend: aangezien de twee laterale grenzen van de functie op het punt x=0 -∞ opleveren, is de oplossing van de limiet -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}

Oefening 5

Los de limiet tot oneindig op van de volgende functie met wortels:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Als we de limiet proberen op te lossen, verkrijgen we de onbepaaldheid oneindig min oneindig:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}

Omdat er radicalen in de functie zitten, moeten we deze daarom vermenigvuldigen en delen door de geconjugeerde radicaaluitdrukking:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

In de teller hebben we het opmerkelijke product van een som met een verschil, dat gelijk is aan het verschil van de kwadraten. Nog:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

We vereenvoudigen de radicaal tot het kwadraat:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

We werken in de teller:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

En uiteindelijk vinden we de limiet:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

In dit geval is de oneindige onbepaaldheid gedeeld door oneindig oneindiger omdat de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer (bedenk dat de vierkantswortel de graad met twee reduceert:

\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2

).

Oefening 6

Los de limiet op als x de oneindigheid nadert van de volgende irrationele functie:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Eerst proberen we de limiet zoals gewoonlijk te berekenen:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}

Maar het geeft ons als resultaat de onbepaaldheid van het verschil van oneindigheden. Omdat de functie wortels heeft, moeten we de uitdrukking daarom vermenigvuldigen en delen door het geconjugeerde radicaal:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}

We groeperen de opmerkelijke gelijkheid van de teller van de breuk:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

We lossen de vierkantswortel op:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

We lossen de opmerkelijke identiteit van het kwadraat van een verschil op:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

We werken in de teller:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

En ten slotte berekenen we de waarde van de limiet op oneindig:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =

Ook al staat er een x kwadraat in de noemer, de graad ervan is eigenlijk 1 omdat deze binnen een wortel staat:

\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .

Daarom is het resultaat van de onbepaaldheid -∞/+∞ de deling van de coëfficiënten van de x van hogere graad, aangezien de graad van de teller hetzelfde is als de graad van de noemer.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}

Merk op dat er twee eerstegraadstermen in de noemer staan

\bigl(2x

En

\sqrt{4x^2}\bigr)

, om de onbepaaldheid -∞/+∞ op te lossen is het noodzakelijk om alle coëfficiënten van de eerstegraadstermen te nemen, dat wil zeggen de

2

van

2x

en de

\sqrt{4}

van

\sqrt{4x^2}.

Oefening 7

Bereken de limiet als x 1 van de volgende functie met breuken benadert:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Als we proberen de limiet te bereiken, krijgen we de onbepaalde limiet van oneindig min oneindig:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}

We moeten daarom de breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer, of met andere woorden, we moeten de teller en de noemer van de ene breuk vermenigvuldigen met de noemer van de andere:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}

En aangezien de twee breuken nu dezelfde noemer hebben, kunnen we ze samenvoegen:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}

Wij opereren:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}

En we proberen de limiet opnieuw op te lossen:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}

Maar we vinden de onbepaaldheid nul gedeeld door nul. We moeten daarom de teller- en noemerpolynomen in factoren ontbinden:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

Nu vereenvoudigen we de breuk door de factor te verwijderen die zich herhaalt in de teller en de noemer:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}

En ten slotte lossen we de limiet op:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven