Sinusfunctie - Mathority

Op deze pagina vind je alles over de sinusfunctie: wat is het, wat is de formule, hoe je het in een grafiek weergeeft, de kenmerken van dit type functie, amplitude, periode, enz. Bovendien kunt u verschillende voorbeelden van sinusfuncties zien om het concept volledig te begrijpen. Hij legt zelfs de sinusstelling uit en de relaties die de sinusfunctie heeft met andere trigonometrische verhoudingen.

sinusfunctieformule

De sinusfunctie van een hoek α is een trigonometrische functie waarvan de formule wordt gedefinieerd als de verhouding tussen het tegenoverliggende been en de hypotenusa van een rechthoekige driehoek (driehoek met een rechte hoek).

Dit type wiskundige functie wordt vaak geschreven met de afkorting “sin” of “sin” (van het Latijnse sinus ). Bovendien kan het ook een sinusoïdale, sinusoïdale of sinusoïdale functie worden genoemd.

De sinusfunctie is een van de bekendste trigonometrische verhoudingen, samen met de cosinus en de tangens van een hoek.

Karakteristieke waarden van de sinusfunctie

Sommige hoeken herhalen zich regelmatig en daarom is het handig om de waarde van de sinusfunctie bij deze hoeken te kennen:

karakteristieke of typische waarden van de sinusfunctie

Het teken van de sinusfunctie hangt dus af van het kwadrant waarin de hoek zich bevindt: als de hoek zich in het eerste of tweede kwadrant bevindt, zal de sinus positief zijn, aan de andere kant als de hoek in het derde of vierde kwadrant valt. , zal de sinus negatief zijn.

Grafische weergave van de sinusfunctie

Met de waardentabel die we in de vorige sectie hebben gezien, kunnen we de sinusfunctie in een grafiek weergeven. Dus als we de sinusfunctie grafisch weergeven, krijgen we:

voorbeeld van de grafiek van de sinusfunctie

Zoals je in de grafiek kunt zien, liggen de waarden van de afbeeldingen van de sinusfunctie altijd tussen +1 en -1, dat wil zeggen dat deze bovenaan wordt begrensd door +1 en onderaan door -1. Bovendien worden de waarden elke 360 graden herhaald (2π radialen), dus het is een periodieke functie waarvan de periode 360 graden is.

Aan de andere kant begrijpen we in deze grafiek perfect dat de sinusfunctie vreemd is, omdat de tegengestelde elementen ervan tegengestelde afbeeldingen hebben, of met andere woorden: hij is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong (0,0). De sinus van 90º is bijvoorbeeld 1 en de sinus van -90º is -1.

Eigenschappen van de sinusfunctie

De sinusfunctie heeft de volgende kenmerken:

Het domein van de sinusfunctie bestaat uitsluitend uit reële getallen, aangezien, zoals de grafiek laat zien, de functie bestaat voor elke waarde van de onafhankelijke variabele x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Het pad of bereik van de sinusfunctie loopt van min 1 tot plus 1 (beide inclusief).

$\text{Im } f= [-1,1]$

Het is een continue en oneven functie met periodiciteit 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Dit type trigonometrische functie heeft één snijpunt met de y-as (Y-as) op het punt (0,0).

$(0,0)$

In plaats daarvan onderschept het periodiek de abscis (X-as) op verschillende coördinaten van pi.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Het maximum van de sinusfunctie treedt op wanneer:

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

En omgekeerd vindt het minimum van de sinusfunctie plaats bij:

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

De afgeleide van de sinusfunctie is de cosinus:

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Ten slotte is de integraal van de sinusfunctie het cosinus-veranderde teken:

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Periode en amplitude van de sinusfunctie

Zoals we in zijn grafiek zagen, is de sinusfunctie een periodieke functie, dat wil zeggen dat de waarden ervan worden herhaald volgens een frequentie. Bovendien zijn de maximale en minimale waarden waartussen het oscilleert afhankelijk van de amplitude. Daarom zijn twee kenmerken die de sinusoïdale functie bepalen de periode en de amplitude:

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

De periode van de sinusfunctie is de afstand tussen twee punten waarop de grafiek wordt herhaald en wordt berekend met de volgende formule:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

De amplitude van de sinusfunctie is equivalent aan de coëfficiënt vóór de sinusterm.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Hieronder ziet u een grafiek die de effecten laat zien van het veranderen van de periode of amplitude:

In de functie die groen wordt weergegeven, kunnen we zien dat door het verdubbelen van de amplitude de functie van +2 naar -2 gaat, in plaats van +1 naar -1. Aan de andere kant kun je in de rood weergegeven functie zien hoe deze twee keer zo snel gaat als de “canonieke” sinusfunctie, aangezien de periode ervan is gehalveerd.

sinus stelling

Hoewel sinus normaal gesproken wordt toegepast op rechthoekige driehoeken, is er ook een stelling die voor elk type driehoek werkt: de sinusstelling.

De wet van de sinussen relateert de zijden en hoeken van elke driehoek als volgt:

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Relaties van de sinusfunctie met andere trigonometrische verhoudingen

Hieronder vindt u de sinusoïdale relaties met de belangrijkste goniometrische verhoudingen in de trigonometrie.

Cosinus verhouding

De grafiek van de cosinusfunctie is equivalent aan de sinuscurve, maar verschoven
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

naar links, zodat de twee functies met elkaar in verband kunnen worden gebracht door de volgende uitdrukking:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \text{cos}\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right)$

Je kunt sinus en cosinus ook in verband brengen met de trigonometrische fundamentele identiteit:

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

relatie tot de raaklijn

Hoewel het ingewikkeld is om te bewijzen, kan de sinus alleen worden uitgedrukt volgens de raaklijn:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \pm \cfrac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Relatie met de cosecant

De sinus en de cosecans zijn multiplicatieve inverses:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\text{csc }\alpha}$

Relatie met de secans

De sinus kan worden gewist, zodat deze alleen van de secans afhangt:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{\sqrt{\text{sec }\alpha -1 } }{\text{sec }\alpha}$

Relatie met de cotangens

De sinus en cotangens van een hoek zijn gerelateerd aan de volgende vergelijking:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Sinus-functie