Som van kubussen - Mathority

Op deze pagina vindt u de formule voor de som van de kubussen en de uitleg hoe de som van de kubussen in factoren wordt verwerkt. Daarnaast kun je verschillende voorbeelden en opgeloste oefeningen van kubussommen zien.

Wat is de som van de kubussen?

De som van kubussen is een binomiaal (polynoom met slechts twee monomialen) waarvan de twee termen positief zijn en bovendien hun kubieke wortels exact zijn. Daarom is de algebraïsche uitdrukking voor een som van kubussen a ³ +b ³ .

Bovendien komt de som van perfecte kubussen overeen met een opmerkelijk product (of opmerkelijke identiteit), wat betekent dat er een formule is om het direct op te lossen zonder veel berekeningen te hoeven doen. Vervolgens zullen we zien hoe het moet.

Formule voor som van kubussen

Nadat we de wiskundige definitie van de som van kubussen hebben gezien, gaan we nu kijken wat de formule voor de som van kubussen is:

De som van twee termen in de derde macht is dus gelijk aan de som van deze twee termen vermenigvuldigd met het kwadraat van de eerste term, minus het product van de twee grootheden, plus het kwadraat van de tweede term.

Wanneer we dus de formule voor de som van perfecte derde machten toepassen, ontbinden we feitelijk een polynoom in factoren, omdat we de uitdrukking voor een polynoom omzetten in een product van twee factoren. Als u nog steeds niet zeker weet wat het betekent om een polynoom te ontbinden, raden we u aan eerst te kijken hoe u polynomen moet ontbinden voordat u verdergaat.

Voorbeelden van het ontbinden van de som van kubussen

Om het concept van de som van perfecte kubussen te begrijpen, zullen we verschillende voorbeelden zien van het ontbinden van de som van kubussen met behulp van de formule:

voorbeeld 1

Ontbind de volgende som van kubussen in factoren met behulp van de formule:

$x^3+8$

Het is inderdaad een som van kubussen, omdat de kubieke wortel van de monomiaal is

$x^3$

is exact (geeft geen decimaal getal) en het getal 8 ook:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

Daarom kunnen we de formule voor de som van de kubussen toepassen om de kubieke uitdrukking om te zetten in een product van een binomiaal en een trinominaal:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

En ten slotte hoeven we alleen maar de vermenigvuldiging en de macht op te lossen:

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

Als we goed kijken naar de verkregen uitdrukking, kunnen we dankzij de formule voor de som van kubussen gemakkelijk de wortel van een polynoom vinden . In dit geval zou een van de wortels van de polynoom zijn

$x=-2.$

Om echter alle wortels (of nullen) van een polynoom te vinden, moet je een ingewikkeldere procedure volgen. Lees op de gelinkte pagina hoe.

Voorbeeld 2

Ontbind de volgende binomiaal in factoren door de formule voor de som van perfecte kubussen toe te passen.

$8x^3+1$

De polynoom in dit voorbeeld bestaat ook uit een som van derdemachten omdat beide de derdemachtswortel zijn van de monomial

$8x^3$

van de onafhankelijke term 1 zijn exact:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

We kunnen daarom de formule voor de som van perfecte kubussen gebruiken om de uitdrukking te vereenvoudigen:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Bereken ten slotte gewoon de resulterende bewerkingen:

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

Nu je hebt gezien hoe je een som van kubussen kunt oplossen, wil je misschien weten hoe je een verschil in kubussen moet ontbinden. Want hoewel de formule voor het verschil in kubussen vergelijkbaar is, heeft deze een kleine verandering waardoor we onderscheid kunnen maken tussen een som en een verschil in kubussen. We laten u deze link achter, zodat u kunt zien waaruit deze significante verandering bestaat en hoe een aftrekking van kubussen wordt berekend.

Opgeloste sommen van kubussenproblemen

Oefening 1

Factor de volgende toevoeging van kubussen met de formule:

$x^6+27x^3$

zie oplossing

De uitdrukking komt overeen met een som van kubussen omdat de kubieke wortels van de twee elementen van de polynoom exact zijn:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

Daarom kunnen we de formule voor de som van perfecte kubussen gebruiken om de kubieke uitdrukking te ontbinden in een product van een binomiaal en een trinominaal:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Waarmee we alle bewerkingen oplossen om de gefactoriseerde polynoom te vinden:

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

Oefening 2

Druk elk product uit als een som van kubussen:

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

zie oplossing

De uitdrukkingen van de 3 oefeningen respecteren de formule voor de som van kubussen, het is daarom voldoende om de vermenigvuldigingen van polynomen op te lossen:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

Als je meer geïnteresseerd bent in opvallende identiteiten, weet dan dat er een is die veel mensen vergeten (en die veel wordt gebruikt). Maar het is belangrijk om de formule voor deze opmerkelijke identiteit te onthouden, het trinomiaal kwadraat genoemd. Daarom laten we u deze link achter waar u kunt zien wat het is en hoe deze formule wordt toegepast.

Wat is de som van de kubussen?

Formule voor som van kubussen

Voorbeelden van het ontbinden van de som van kubussen

voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Opgeloste sommen van kubussenproblemen

Oefening 1

Oefening 2

Laat een reactie achter Reactie annuleren