Binomiale kubus

Hier vindt u de uitleg van de resolutie van het opmerkelijke product van een binominale kubus (formule), ofwel (a+b) 3 ofwel (ab) 3 . Bovendien kunt u voorbeelden en oefeningen zien die stap voor stap zijn opgelost, van binomialen tot de kubus.

Wat is een gekubeerde binomiaal?

Een derdemachtsbinomiaal is een polynoom dat bestaat uit twee termen tot de macht 3. Bijgevolg kan de algebraïsche uitdrukking van een derdemachtsbinominale waarde (a+b) 3 of (ab) 3 zijn, afhankelijk van of we hun monomialen optellen of aftrekken.

Bovendien is de in blokjes gesneden binomiaal een van de opmerkelijke identiteiten (of opmerkelijke producten). Om precies te zijn, het komt overeen met een van de opmerkelijke identiteiten van de kubus (of kubieke).

binomiale kubusformule

Zoals we zagen in de definitie van binomiale kubussen, kan dit type opmerkelijke identiteit bestaan uit optellen of aftrekken. Daarom varieert de formule enigszins, afhankelijk van of het een positieve binomiale of een negatieve binomiale is, en daarom zullen we elk geval afzonderlijk bekijken.

kubus van een som

Wanneer een som in de derde macht wordt gebracht, kunnen we deze berekenen met behulp van de formule voor de derde macht van een som:

binomiaal van een somformule in blokjes

Zodat een binomiale derdemacht (optelling) gelijk is aan de derde macht van de eerste, plus het drievoud van het kwadraat van de eerste maal de tweede, plus het drievoud van de eerste maal het kwadraat van de tweede, plus de derde macht van de tweede.

Een andere methode voor het berekenen van de kubus van een binominale is de binomiale (of binominale stelling) van Newton. We laten u de volgende link achter met de uitleg van deze stelling, omdat het erg handig is om deze formule te kennen, omdat deze niet alleen werkt voor de machten van binominale getallen van de derde graad, maar ook voor hogere exponenten. Klik dus op deze link om erachter te komen en te kunnen oefenen met opgeloste binomiale Newton-oefeningen .

kubus van een verschil

Aan de andere kant, als we in plaats van een som een verschil (of aftrekking) hebben verheven tot de kubus, verandert de formule van de binomiaal naar de kubus in het teken van de even termen:

binomiaal van een verschil of aftrekking met de kubusformule

Daarom is een binomiale derde macht (aftrekken) gelijk aan de derde macht van de eerste, minus drie keer het kwadraat van de eerste bij de tweede, plus drie keer de eerste tot het kwadraat van de tweede, minus de derde macht van de tweede.

De enige manier waarop de formules voor de derde macht van een som en de derde macht van een verschil verschillen, is dus het teken van de tweede en vierde term, aangezien in de binomiaal van een som ze allemaal positief zijn en, integendeel, in de binomiaal van een aftrekking is beide negatief.

We hebben zojuist gezien wat de binomiale som en de binomiale verschil zijn. Welnu, je moet weten dat de som per verschil van twee binomialen ook een opmerkelijke identiteit is en in feite deel uitmaakt van de top 3 (de belangrijkste). Op de gelinkte pagina kunt u zien wat de formule is voor de som maal het verschil en hoe deze wordt toegepast.

Voorbeelden van gekubeerde binomialen

Nu we de formule kennen voor de derde macht van een som en de formule voor de derde macht van een verschil, zullen we een voorbeeld zien van het oplossen van elk type binominale kubus om het concept te begrijpen.

Voorbeeld van de kubus van een som

  • Los de binomiaal op voor de volgende kubus door de formule toe te passen:

(x+2)^3

In dit probleem hebben we een binomiaal waarvan de twee termen positief zijn. We moeten daarom de formule voor een kubusvormige som toepassen:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3

We moeten nu de waarde van de parameters vinden

a

En

b

van de formule. In dit geval,

a

corresponderen met de variabele

x

En

b

staat op nummer 2.

\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad  \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}

Daarom berekenen we de binominale kubus door de waarden van te vervangen

a

en van

b

in de formule:

voorbeeld van een som en verschil in de kubus van binomiaal

Voorbeeld van een verschilkubus

  • Bereken de volgende gekubeerde binomiaal (verschil) met behulp van de bijbehorende formule:

(3x-2)^3

In deze oefening hebben we een paar met een positief element en een negatief element. We moeten daarom de formule voor een kubusvormig verschil gebruiken:

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3

Het is daarom noodzakelijk om de waarde van de onbekenden te identificeren

a

En

b

van de formule. In dit geval,

a

vertegenwoordigt de monomiale 3x en

b

is de onafhankelijke term van de binominale term, dat wil zeggen 2.

\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad  \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}

Houd er rekening mee dat de parameter

b

is eenvoudigweg gelijk aan 2, zonder het negatieve teken van het getal. Het is belangrijk om dit in gedachten te houden om de formule goed toe te passen.

Ten slotte lossen we de binominale kubus op door de waarden van in te voeren

a

en van

b

in de formule:

negatieve perfecte kubus binomiaal

Bewijs van de binominale kubusformule

Vervolgens zullen we de formule voor een kubusvormige binomiaal demonstreren. Hoewel het uiteraard niet nodig is om het te weten, is het altijd goed om de algebra achter elke formule te begrijpen.

Van een positieve kubusvormige binomiaal:

(a+b)^3

De bovenstaande uitdrukking kan wiskundig worden ontleed in het product van de factor

(a+b)

door zijn vierkant:

(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2

Bovendien het paar

(a+b)

verhoogd tot 2 is het een opmerkelijke identiteit, daarom kunnen we het oplossen met de formule voor het kwadraat van een som :

(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)

Nu vermenigvuldigen we de twee haakjes met behulp van de distributieve eigenschap:

\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}

En ten slotte hoeven we alleen maar de termen te groeperen die op elkaar lijken:

a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Om de formule van een gekubeerde binomiaal te verifiëren:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3

Om de formule voor de negatieve binomiale kubus af te leiden, volgt u logischerwijs dezelfde stappen als zojuist, maar begint u met de term

b

veranderd teken.

Aan de andere kant kan de formule van een kubusvormige binomiaal ook worden gedemonstreerd met behulp van de driehoek van Pascal (of Tartaglia) . Als je niet weet wat deze wiskundige truc is, laten we deze link achter waar deze stap voor stap wordt uitgelegd. Bovendien kunt u alle toepassingen ervan zien en de specifieke geschiedenis van deze zeer bijzondere algebraïsche driehoek.

Opgeloste binominale kubusproblemen

Zodat je kunt oefenen met de theorie die we zojuist hebben gezien over de berekening van een binomiaal tot de macht 3, hebben we verschillende oefeningen voorbereid die stap voor stap zijn opgelost over de binomiaal tot de kubus.

Vergeet dus niet te vertellen wat je van deze uitleg vindt! En ook al uw vragen kunt u aan ons stellen! 👍👍👍

Oefening 1

Zoek de volgende gekubeerde binomialen:

\text{A)} \ (x+4)^3

\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3

\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3

\text{D)} \ (5x+2)^3

Om alle opmerkelijke identiteiten van het probleem te vinden, past u eenvoudigweg de binomiale formule toe op de kubus, afhankelijk van of het een optelling of een aftrekking is:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}

\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}

\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}

\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}

Oefening 2

Bepaal de volgende binomialen voor de derde macht van twee grootheden door de overeenkomstige formule toe te passen:

\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3

\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3

\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3

Om alle opmerkelijke producten van de oefening te berekenen, moet je de formule voor een som en een derde aftrekking gebruiken:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}

\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}

De monomialen van de laatste gekubeerde binomiaal hebben fractionele coëfficiënten, dus om dit op te lossen moeten we de eigenschappen van breuken gebruiken:

\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven