Schakelbare matrices

Op deze pagina leggen we uit wat schakelbare matrices zijn. Daarnaast kun je voorbeelden zien om het concept goed te begrijpen en tot slot vind je een stapsgewijze opgeloste oefening waarin we alle matrices leren berekenen die met welke matrix dan ook pendelen.

Wat zijn schakelbare matrices?

Twee matrices zijn commuteerbaar als het resultaat van hun product niet afhankelijk is van de volgorde van vermenigvuldiging. Met andere woorden, schakelbare matrices voldoen aan de volgende voorwaarde:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Dit is de definitie van commuteerbare matrices. Laten we nu een voorbeeld bekijken:

Voorbeeld van schakelbare matrices

De volgende twee matrices met afmeting 2×2 zijn schakelbaar tussen de twee:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

De commutabiliteit van de twee matrices kan worden aangetoond door hun product in beide richtingen te berekenen:

voorbeeld van schakelbare matrices met afmeting 2x2

Zoals u kunt zien, is het resultaat van beide vermenigvuldigingen hetzelfde, ongeacht de volgorde waarin ze worden vermenigvuldigd. Dus de matrixen

$A$

$B$

ze zijn schakelbaar.

Opgeloste matrixschakeloefening

Vervolgens zullen we stap voor stap zien hoe we een commuteerbare matrixoefening kunnen oplossen:

Bepaal alle matrices die pendelen met de volgende vierkante matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Om dit probleem op te lossen zullen we een onbekende matrix creëren:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

We moeten daarom deze onbekende matrix vinden.

Om dit te doen, zullen we profiteren van de eigenschap waaraan alle pendelmatrices voldoen:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Nu vermenigvuldigen we de matrices aan beide kanten van de vergelijking:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Om gelijkheid te laten gelden, moet daarom aan de volgende vergelijkingen worden voldaan:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Het enige wat we dus hoeven te doen is het stelsel vergelijkingen op te lossen. Uit de laatste vergelijking kunnen we dat afleiden

$b$

moet gelijk zijn aan

$c$

$b=c$

En als deze twee onbekenden equivalent zijn, wordt de derde vergelijking herhaald met de tweede, we kunnen deze daarom elimineren:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Bovendien kunnen we uit de eerste vergelijking geen conclusies trekken, omdat:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Daarom houden we alleen de tweede en laatste vergelijking over:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Zodat de matrices pendelen met de matrix

$A$

zijn alle vergelijkingen die de twee voorgaande vergelijkingen verifiëren. Daarom kunnen we, door de gevonden uitdrukkingen vanaf het begin in de onbekende matrix te vervangen, de vorm vinden van matrices die pendelen met

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Goud

$b$

$d$

zijn twee reële getallen.

Dus een voorbeeld van een matrix die met de matrix zou pendelen

$A$

zou als volgt zijn:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Eigenschappen van schakelbare matrices

Schakelbare matrices hebben de volgende kenmerken:

Schakelbare arrays hebben niet de transitieve eigenschap . Met andere woorden, zelfs als de matrix
$A$

pendelen met matrixen

$B$

En

$C$

, dit betekent niet dat

$B$

En

$C$

zijn hiertussen schakelbaar.

Diagonale matrices pendelen met elkaar, dat wil zeggen dat een diagonale matrix pendelt met elke andere diagonale matrix.

Op dezelfde manier pendelt een scalaire matrix in gelijke mate met alle matrices. De identiteits- of eenheidsmatrix pendelt bijvoorbeeld met alle matrices.

Twee Hermitische matrices pendelen als hun eigenvectoren (of eigenvectoren) samenvallen.

Het is duidelijk dat de nulmatrix ook pendelt met alle matrices.

Als het product van twee symmetrische matrices een andere symmetrische matrix oplevert, moeten de twee matrices pendelen.

Als de diagonalisatie van twee matrices tegelijkertijd kan worden uitgevoerd, moeten ze commuteerbaar zijn. Daarom delen deze twee matrices ook dezelfde orthonormale basis van eigenvectoren of eigenvectoren.

Wat zijn schakelbare matrices?

Voorbeeld van schakelbare matrices

Opgeloste matrixschakeloefening

Eigenschappen van schakelbare matrices

Laat een reactie achter Reactie annuleren