Hermitische (of hermitische) matrix

Op deze pagina kun je leren wat een Hermitische matrix, ook wel Hermitische matrix genoemd, is. U vindt voorbeelden van Hermitische matrices, al hun eigenschappen en de vorm die dit soort matrices hebben om ze perfect te begrijpen. Ten slotte leggen we ook uit hoe je een complexe matrix kunt ontbinden in de som van een Hermitische matrix plus een anti-Hermitische matrix.

Wat is een hermitische of hermitische matrix?

Een Hermitische matrix , of ook wel een Hermitische matrix genoemd, is een vierkante matrix met complexe getallen die het kenmerk heeft gelijk te zijn aan de geconjugeerde transpositie .

A=A^*

Goud

A^*

is de geconjugeerde getransponeerde matrix van

A

.

Uit nieuwsgierigheid is dit type matrix genoemd ter ere van Charles Hermite, een 19e-eeuwse Franse wiskundige die belangrijk onderzoek deed in de wiskunde, vooral op het gebied van lineaire algebra.

De reden om deze matrix zo te noemen was dat deze aantoonde dat de eigenwaarden (of eigenwaarden) van deze specifieke matrices altijd reële getallen zijn, maar we zullen dit in meer detail uitleggen in Eigenschappen van Hermitische Matrices.

Ten slotte kan deze matrix soms ook een zelfadjuncte matrix worden genoemd, hoewel dit zeer zeldzaam is.

Voorbeelden van Hermitische matrices

Zodra we de definitie van de Hermitische matrix (of Hermitische matrix) hebben gezien, laten we enkele voorbeelden bekijken van Hermitische matrices met verschillende dimensies:

Voorbeeld van een Hermitische matrix van orde 2×2

Hermitische of Hermitische matrix met afmeting 2x2

Voorbeeld van een Hermitische matrix met dimensie 3 × 3

Hermitische of Hermitische matrix met dimensie 3x3

Voorbeeld van een Hermitische matrix van maat 4×4

Hermitische of Hermitische matrix met afmeting 4x4

Al deze matrices zijn Hermitisch omdat de geconjugeerde transpositiematrix van elk gelijk is aan de matrix zelf.

Structuur van een Hermitische matrix

Hermitische matrices hebben een heel gemakkelijk te onthouden structuur: ze zijn opgebouwd uit reële getallen op de hoofddiagonaal, en het complexe element in de i-de rij en de j-de kolom moet de conjugaat zijn van het element in de j-de rij en de i-de kolom.

Hier zijn enkele voorbeelden van Hermitische matrixstructuren.

2×2 Hermitische structuur

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}

3×3 Hermitische structuur

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}

4×4 Hermitische structuur

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}

Eigenschappen van de Hermitische matrix

We zullen nu zien wat de eigenschappen van dit type vierkante complexe matrix zijn:

  • Elke Hermitische matrix is een normale matrix . Hoewel niet alle normale matrices Hermitische matrices zijn.
  • Elke Hermitische matrix is diagonaliseerbaar. Bovendien bevat de resulterende diagonale matrix alleen echte elementen.
  • Daarom zijn de eigenwaarden (of eigenwaarden) van een Hermitische matrix altijd reële getallen. Deze eigenschap werd ontdekt door Charles Hermite en om deze reden had hij de eer om deze zeer bijzondere matrix Hermitisch te noemen.
  • Op dezelfde manier zijn de eigenruimten van een Hermitische matrix twee aan twee orthogonaal: er bestaat een orthonormale basis van

    \mathbb{C}^n

    bestaande uit eigenvectoren (eigenvectoren) van de matrix.

  • Een matrix van reële getallen, dat wil zeggen dat geen enkel element een imaginair deel heeft, is Hermitisch als en slechts als het een symmetrische matrix is. Zoals bijvoorbeeld de 2×2 identiteitsmatrix .
  • Een Hermitische matrix kan worden uitgedrukt als de som van een echte symmetrische matrix en een denkbeeldige antisymmetrische matrix .

A =B+Ci

  • De som (of aftrekking) van twee Hermitische matrices is gelijk aan een andere Hermitische matrix, omdat:

(A\pm B)^* = A^*\pm B^* = A \pm B

  • Het resultaat van het product van een Hermitische matrix door een scalair is een andere Hermitische matrix als de scalair een reëel getal is.

(k \cdot A)^* = \overline{k}\cdot A^* = k \cdot A

  • Het product van twee Hermitische matrices is over het algemeen niet langer Hermitisch. Het product is echter hermitisch wanneer de twee matrices commuteerbaar zijn, dat wil zeggen wanneer het resultaat van de vermenigvuldiging van de twee matrices hetzelfde is, ongeacht de richting waarin ze worden vermenigvuldigd, omdat dan de volgende voorwaarde van de bewerkingen met geconjugeerde transpositie geldt matrices:

(A \cdot B)^* = B^*\cdot A^* = B \cdot A = A \cdot B

  • Als een Hermitische matrix inverteerbaar is, blijkt de inverse ervan ook een Hermitische matrix te zijn.

(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}

  • De determinant van een Hermitische matrix is altijd gelijk aan een reëel getal. Hier is het bewijs van deze eigenschap:

det(A) = det(A^t) \ \longrightarrow \ det(A^*) = \overline{det(A)}

Dorstig

A = A^*

:

det(A) = \overline{det(A)}

Om aan deze voorwaarde te voldoen, moet de determinant van een Hermitische matrix daarom noodzakelijkerwijs een reëel getal zijn. Op deze manier is de conjugaat van het resultaat gelijk aan het resultaat zelf.

Ontleding van een complexe matrix in een Hermitische matrix en een anti-Hermitische matrix

Elke matrix met complexe elementen kan worden ontleed in de som van een Hermitische matrix plus een andere anti-Hermitische matrix . Maar hiervoor moet u de volgende bijzonderheden van dit soort matrices kennen:

  • De som van een vierkante complexe matrix plus zijn getransponeerde conjugaat geeft een Hermitische matrix.

C + C^* = \text{Matriz Hermitiana}

  • Het verschil tussen een vierkante complexe matrix en het getransponeerde conjugaat ervan geeft een anti-hermitische (of anti-hermitische) matrix.

C - C^* = \text{Matriz Antihermitiana}

  • Daarom kunnen alle complexe matrices worden ontleed in de som van een Hermitische matrix en een anti-Hermitische matrix. Deze stelling staat bekend als de Teoplitz-ontbinding :

\displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^*)\end{array}

Waar C de complexe matrix is die we willen ontleden, is C* het getransponeerde conjugaat, en tenslotte zijn A en B respectievelijk de Hermitische en anti-Hermitische matrices waarin de matrix C wordt ontleed.

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven