Diagonale matrix - Mathority

Op deze pagina zie je wat een diagonaalmatrix is en voorbeelden van diagonaalmatrices. Daarnaast ontdek je hoe je met dit soort matrices kunt werken, hoe je eenvoudig hun determinanten kunt berekenen en hoe je ze kunt omkeren. Er zijn ook eigenschappen en toepassingen van diagonale matrices. En ten slotte zijn er de verklaringen voor een bidiagonale matrix en een tridiagonale matrix.

Wat is een diagonale matrix?

Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix waarin alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen nul (0) zijn. De elementen van de hoofddiagonaal kunnen al dan niet nul zijn.

Zodra we de exacte definitie van een diagonale matrix kennen, zullen we voorbeelden van diagonale matrices zien:

Voorbeelden van diagonale matrices

Voorbeeld van een diagonale matrix met afmeting 2 × 2

Voorbeeld van een diagonale matrix van orde 3×3

Voorbeeld van een diagonale matrix van maat 4×4

Dit soort matrices worden over het algemeen geschreven en geven de elementen van de diagonaal aan:

$diag(2,5,1) = \left. \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Bewerkingen met diagonale matrices

Een van de redenen waarom diagonale matrices zo belangrijk zijn voor lineaire algebra is vanwege het gemak waarmee je berekeningen kunt uitvoeren. Dit is de reden waarom ze zo worden gebruikt in de wiskunde.

Diagonale matrices optellen en aftrekken

Het optellen (en aftrekken) van twee diagonale matrices is heel eenvoudig: u hoeft alleen maar de getallen op de diagonalen op te tellen (of af te trekken).

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \pm \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\pm b_1,..., a_n\pm b_n)$

Bijvoorbeeld:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6& 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Diagonale matrixvermenigvuldiging

Om een vermenigvuldiging of matrixproduct van twee diagonale matrices op te lossen, vermenigvuldigt u eenvoudigweg de elementen van de diagonalen met elkaar.

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \cdot \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\cdot b_1,..., a_n\cdot b_n)$

Bijvoorbeeld:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -18 \end{pmatrix}$

Kracht van diagonale matrices

Om de macht van een diagonale matrix te berekenen, moeten we elk element van de diagonaal verheffen tot de exponent:

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle A^k= \text{diag}(a_1^k,... ,a_n^k)$

Bijvoorbeeld:

$\displaystyle\left. \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\right.^3= \begin{pmatrix} 27 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 64 \end{pmatrix}$

Determinant van een diagonale matrix

De determinant van een diagonale matrix is het product van de elementen op de hoofddiagonaal.

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle \text{det}(A)= \prod_{i =1}^n a_i$

Kijk eens naar de volgende opgeloste oefening waarin we de determinant van een diagonaalmatrix vinden door simpelweg de elementen van de hoofddiagonaal te vermenigvuldigen:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$

Deze stelling is eenvoudig te bewijzen: je hoeft alleen maar de determinant van een diagonale matrix te berekenen met blokken (of cofactoren). Deze demonstratie wordt hieronder gedetailleerd beschreven met behulp van een generieke diagonale matrix:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & b & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & c \end{vmatrix}& = a \cdot \begin{vmatrix} b & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\[1.1ex] 0 & 0 \end{vmatrix} \\[2ex] & =a \cdot (b\cdot c) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[2ex] & = a \cdot b \cdot c \end{aligned}$

Keer een diagonale matrix om

Een diagonaalmatrix is inverteerbaar als en slechts als alle elementen van de hoofddiagonaal verschillend zijn van 0 . In dit geval zeggen we dat de diagonale matrix een reguliere matrix is.

Bovendien zal de inverse van een diagonale matrix altijd een andere diagonale matrix zijn met de inverse van de hoofddiagonaal:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

Uit het vorige kenmerk kunnen we afleiden dat de determinant van de inverse van een diagonale matrix het product is van de inverse van de hoofddiagonaal:

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle\left| B^{-1}\right|=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{-1}=-\cfrac{1}{8} = -0,125$

Eigenschappen van diagonale matrices

Elke diagonale matrix is ook een symmetrische matrix .

Een diagonale matrix is een matrix die zowel boven- als onderdriehoekig is .

De identiteitsmatrix is een diagonale matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Op dezelfde manier is de nulmatrix ook een diagonale matrix, omdat alle elementen die niet op de diagonaal liggen, nullen zijn. Hoewel de cijfers op de diagonaal 0 zijn.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

De eigenwaarden (of eigenwaarden) van een diagonale matrix zijn de elementen van de hoofddiagonaal.

$\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda = 3 \ ; \ \lambda = 4 \ ; \ \lambda = 7$

Een vierkante matrix is diagonaal als en slechts als deze driehoekig en normaal is.

De adjunct van een diagonale matrix is een andere diagonale matrix.

Diagonale matrixtoepassingen

Zoals we hebben gezien is het oplossen van berekeningen met diagonale matrices heel eenvoudig, omdat er veel nullen bij de bewerkingen betrokken zijn. Om deze reden zijn ze zeer nuttig op het gebied van de wiskunde en worden ze veel gebruikt.

Om dezelfde reden zijn er zoveel onderzoeken gedaan naar het diagonaliseren van een matrix en is er zelfs een methode ontwikkeld voor het diagonaliseren van matrices (met behulp van de karakteristieke polynoom).

Daarom zijn diagonaliseerbare matrices ook behoorlijk relevant. Zoals de spectrale ontbindingsstelling, die de voorwaarden vastlegt voor wanneer een matrix diagonaliseerd kan worden en wanneer niet.

bidiagonale matrix

Een bidiagonale matrix is een vierkante matrix waarin alle elementen die niet op de hoofddiagonaal of op de bovenste of onderste diagonaal liggen, 0 zijn.

Bijvoorbeeld:

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -5 & 1 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

bovenste bidiagonale matrix

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 6 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

lagere bidiagonale matrix

Wanneer de hoofddiagonaal en de eerste superdiagonaal bezet zijn, spreken we van een bovenste bidiagonale matrix. Aan de andere kant, wanneer de hoofddiagonaal en de eerste subdiagonaal bezet zijn, spreken we van een lagere bi-diagonale matrix.

tridiagonale matrix

Een tridiagonale matrix is een vierkante matrix waarvan de enige niet-nul elementen die van de hoofddiagonaal en de aangrenzende diagonalen boven en onder zijn.

Bijvoorbeeld:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] -4 & 5 & 9 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 6 & -2 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 & 7 \end{pmatrix}$

Alle diagonale, bidiagonale en tridiagonale matrices zijn dus voorbeelden van bandmatrices . Omdat een bandmatrix die matrix is die al zijn niet-nulelementen rond de hoofddiagonaal heeft.

Wat is een diagonale matrix?

Voorbeelden van diagonale matrices

Bewerkingen met diagonale matrices

Diagonale matrices optellen en aftrekken

Diagonale matrixvermenigvuldiging

Kracht van diagonale matrices

Determinant van een diagonale matrix

Keer een diagonale matrix om

Eigenschappen van diagonale matrices

Diagonale matrixtoepassingen

bidiagonale matrix

tridiagonale matrix

Laat een reactie achter Reactie annuleren