Op deze pagina vindt u wat een monische polynoom is, evenals voorbeelden van monische polynomen. Je zult ook de eigenschappen van dit type polynoom kunnen zien en hoe een polynoom monisch wordt.
Wat is een eenheidspolynoom?
De definitie van het eenheidspolynoom is als volgt:
In de wiskunde is een eenheidspolynoom een polynoom met een enkele variabele en waarvan de leidende coëfficiënt gelijk is aan 1.
Monische polynomen worden ook unitaire polynomen of normpolynomen genoemd.
Het volgende polynoom van graad 2 is bijvoorbeeld monisch omdat het een univariabel polynoom is en de helling ervan 1 is:
Om het concept van een eenheidspolynoom te begrijpen, moet je uiteraard weten wat de helling van een polynoom is. Als u dit niet duidelijk weet, raden we u aan de uitleg te bekijken van wat alle delen van een polynoom zijn, waar u bovendien de andere delen (of elementen) kunt zien waaruit een polynoom bestaat. vergezeld van voorbeelden en opgeloste oefeningen om te oefenen.
Voorbeelden van monische polynomen
Als we eenmaal hebben gezien wat het betekent dat een polynoom monisch is, gaan we eens kijken naar enkele voorbeelden van dit type polynoom:
Voorbeeld van een eenheidspolynoom van de tweede graad:
Voorbeeld van een eenheidspolynoom van de derde graad:
Voorbeeld van een eenheidspolynoom van de vierde graad:
Hoe je een polynoom in een monisch kunt transformeren
Nu we de betekenis van monisch polynoom kennen, zullen we zien hoe we een polynoom naar monisch kunnen converteren, of met andere woorden, hoe we een polynoom kunnen ‘moniseren’. Dit proces wordt ook wel normalisatie van een polynoom genoemd.
We gaan dus stap voor stap een oefening oplossen om te zien hoe het werkt:
Om de polynoom te normaliseren, moeten we alle elementen waaruit de polynoom bestaat, delen door de coëfficiënt van de term van de hoogste graad in de polynoom. In dit geval is de coëfficiënt van de term met de hoogste graad 4, dus:
![\begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cee7fd835cb649bc1659f7ad895f028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Laten we nu de breuken van de polynoom vereenvoudigen:
En op deze manier hebben we de polynoom van het probleem al omgezet in een monische polynoom.
Eigenschappen van monische polynomen
Monische polynomen hebben de volgende kenmerken:
- Het product van een monische polynoom door een andere monische polynoom levert altijd een monische polynoom op.
Dit komt door de vermenigvuldigingseigenschappen van polynomen . Op de gelinkte pagina wordt niet alleen uitgelegd hoe polynomen worden vermenigvuldigd, maar u leert ook waarom dit gebeurt met de producteigenschappen van polynomen.
- Als een eenheidspolynoom alleen uit gehele coëfficiënten bestaat, zullen de wortels van genoemde eenheidspolynoom gehele getallen zijn.
De wortels (of nullen) van een polynoom zijn getallen die een polynoom definiëren, dus het is een heel belangrijk concept. Als je niet weet wat ze zijn of hoe ze worden berekend, kun je onze pagina met opgeloste oefeningen voor de wortels van een polynoom bezoeken, waarin we uitleggen waaruit de wortels van een polynoom bestaan, hoe je ze kunt vinden, en je kunt oefen zelfs met oefeningen die stap voor stap worden opgelost.
- Hoewel de coëfficiënt van een multivariabele polynoom eenheid is, wordt deze nooit als een monische polynoom beschouwd, juist omdat deze meer dan één variabele heeft.