Matrixvergelijkingen

Op deze pagina leert u wat matrixvergelijkingen zijn en hoe u ze kunt oplossen. Daarnaast vind je voorbeelden en opgeloste oefeningen van vergelijkingen met matrices.

Wat zijn matrixvergelijkingen?

Matrixvergelijkingen lijken op normale vergelijkingen, maar in plaats van uit getallen te bestaan, bestaan ze uit matrices. Bijvoorbeeld:

$\displaystyle AX=B$

Daarom zal oplossing X ook een matrix zijn.

Zoals je al weet, kunnen matrices niet worden gesplitst. Daarom kan de matrix X niet worden gewist door de matrix die deze vermenigvuldigde te delen aan de andere kant van de vergelijking:

$\renewcommand{\CancelColor}{\color{red}} \xcancel{X =\cfrac{B}{A}}$

Integendeel, om de X-matrix leeg te maken moet een hele procedure worden gevolgd. Laten we dus eens kijken hoe we matrixvergelijkingen kunnen oplossen met een opgeloste oefening:

Hoe matrixvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld:

Los de volgende matrixvergelijking op:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad C =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & -3\end{pmatrix}$

Het eerste dat we moeten doen is matrix X oplossen . Dus trekken we matrix B af van de andere kant van de vergelijking:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle AX = C-B$

Om het wissen te voltooien, kan de matrix niet worden verdeeld. Maar we moeten het volgende doen:

We moeten beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen met de inverse van de matrix die de matrix X vermenigvuldigt en bovendien beide zijden vermenigvuldigen met de zijde waar de matrix zich bevindt.

In dit geval is de matrix die X vermenigvuldigt A, en deze bevindt zich links ervan. We vermenigvuldigen daarom links en rechts van de vergelijking met de inverse van A (A ^-1 ):

$\displaystyle AX = C-B$

$\displaystyle \definecolor{vermell}{HTML}{F44336} \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot AX = \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot (C-B)$

Een matrix vermenigvuldigd met zijn inverse is gelijk aan de identiteitsmatrix. Nog

$\bm{A^{-1} \cdot A = I }:$

$\displaystyle IX = A^{-1} \cdot (C-B)$

Elke matrix vermenigvuldigd met de identiteitsmatrix geeft dezelfde matrix. Nog:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

En op deze manier hebben we X al gewist. Voer nu gewoon de matrixbewerkingen uit. We berekenen dus eerst de 2 × 2 inverse matrix van A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

We berekenen de adjunct van de matrix A:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -4 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

En zodra de aangrenzende matrix is gevonden, gaan we verder met het berekenen van de getransponeerde matrix om de inverse matrix te bepalen:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -1 \\[1.1ex] -4 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

Nu vervangen we alle matrices in de uitdrukking om X te berekenen:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}} 2 & 1 \\[1.3ex] 6 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}}3 & -1 \\[1.3ex] 0 & 5 \end{pmatrix}\right)$

En we gaan verder met het oplossen van de bewerkingen met matrices. We berekenen eerst de haakjes door de matrices af te trekken:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] 6 & -8 \end{pmatrix}$

En ten slotte vermenigvuldigen we de matrices:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot (-1) + \left(-\frac{1}{2} \right) \cdot 6 & \frac{3}{2}\cdot 2 + \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot (-8) \\[1.3ex] -2\cdot (-1)+1\cdot 6 & -2\cdot 2 +1\cdot (-8) \end{pmatrix}$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} -\frac{6}{2} & 3 + 4 \\[1.3ex] 2+6 & -4-8 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X =} \begin{pmatrix} \bm{-} \frac{\bm{9}}{\bm{2}} & \bm{7} \\[1.3ex] \bm{8} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

Problemen met matrixvergelijkingen opgelost

Om ervoor te zorgen dat u kunt oefenen en het concept goed kunt begrijpen, laten we u hieronder enkele opgeloste matrixvergelijkingen zien. Je kunt proberen de oefeningen te doen en kijken of het je gelukt is met de oplossingen. Vergeet niet dat u ons ook eventuele vragen kunt stellen in de opmerkingen.

Oefening 1

Zijn

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

de volgende vierkante matrices met afmeting 2×2:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

Bereken de matrix

$X$

die voldoet aan de volgende matrixvergelijking:

$\displaystyle AX=B$

zie oplossing

U moet eerst de matrix leegmaken

$X$

van de matrixvergelijking:

$\displaystyle AX=B$

$\displaystyle A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle IX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

Zodra we de matrix hebben

$X$

duidelijk, werk gewoon met de matrices. We berekenen daarom eerst de inverse matrix van A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}$

Nu vervangen we alle matrices in de vergelijking om de matrix te berekenen

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

En ten slotte doen we de vermenigvuldiging van de matrices:

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-7} & \bm{7}\end{pmatrix}$

Oefening 2

Zijn

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

de volgende volgorde 2 matrices:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}$

Bereken de matrix

$X$

die voldoet aan de volgende matrixvergelijking:

$\displaystyle A+ XB=C$

zie oplossing

Het eerste wat we moeten doen is de matrix leegmaken.

$X$

van de matrixvergelijking:

$\displaystyle A+ XB=C$

$\displaystyle XB=C-A$

$\displaystyle XB \cdot B^{-1}=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle XI=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X = \left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

Zodra we de matrix hebben geïsoleerd

$X$

, is het noodzakelijk om met matrices te werken. We berekenen daarom eerst de inverse matrix van B:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[1.1ex] -3 & -2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Nu vervangen we alle matrices in de vergelijking om de matrix te berekenen

$X :$

$\displaystyle X=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\left(\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 3 & -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.3ex] 2 & -1 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

We lossen de haakjes op door de matrices af te trekken:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.3ex] 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

En ten slotte vermenigvuldigen we de matrices:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} -3+2 & -1+\frac{4}{3} \\[1.3ex] -1+1 & -\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[1.3ex] \bm{0} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \end{pmatrix}$

Oefening 3

Zijn

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

de volgende tweede orde matrices:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 22 & 14 \end{pmatrix}$

zoek de matrix

$X$

die voldoet aan de volgende matrixvergelijking:

$\displaystyle AXB=C$

zie oplossing

Eerst moeten we de matrix leegmaken

$X$

van de matrixvergelijking:

$\displaystyle AXB=C$

$\displaystyle A^{-1}\cdot AXB\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle IXI=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

Zodra we de matrix hebben geleegd

$X$

, is het noodzakelijk om met matrices te werken. We berekenen daarom eerst de inverse matrix van A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

En we keren ook matrix B om:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

Nu vervangen we alle matrices in de uitdrukking om de matrix te berekenen

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 22 & 14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

We lossen eerst de vermenigvuldiging aan de linkerkant op

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0+22 & 0+14 \\[1.3ex] 6+22 & 4+14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 22 & 14 \\[1.3ex] 28 & 18 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

En ten slotte doen we de resterende vermenigvuldiging:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0-7 & 22+28 \\[1.3ex] 0-9 & 28+36 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{-7} & \bm{50} \\[1.3ex] \bm{-9} & \bm{64} \end{pmatrix}$

Oefening 4

Zijn

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

de volgende matrices met afmeting 3×3:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Bereken de matrix

$X$

die voldoet aan de volgende matrixvergelijking:

$\displaystyle B^{t}- AX=B$

zie oplossing

Eerst maken we de matrix leeg

$X$

van de matrixvergelijking:

$\displaystyle B^t- AX=B$

$\displaystyle B^t- B=AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=A^{-1}\cdot AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=IX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=X$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

Zodra we de matrix hebben geïsoleerd

$X$

, is het noodzakelijk om met matrices te werken. We berekenen daarom eerst de inverse matrix van A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\[4ex] -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\[4ex] \begin{vmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Nu vervangen we alle matrices in de uitdrukking om X te berekenen:

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}^t- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

We transponeren matrix B:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

We lossen de haakjes op door matrices af te trekken:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & -3 \\[1.1ex] -3 & 0 & 3 \\[1.1ex] 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

En tenslotte doen we de matrixvermenigvuldiging:

$\displaystyle \bm{X=}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} & \bm{-12} \\[1.1ex] \bm{3} & \bm{0} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{-6} & \bm{9} \end{pmatrix}$

Wat zijn matrixvergelijkingen?

Hoe matrixvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld:

Problemen met matrixvergelijkingen opgelost

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Laat een reactie achter Reactie annuleren