Homogeen polynoom - Mathority

Op deze pagina wordt uitgelegd wat homogene polynomen zijn. Je zult ook voorbeelden zien van homogene polynomen en de eigenschappen van dit type polynoom. En bovendien zul je het verschil vinden tussen homogene polynomen en heterogene polynomen.

Wat is een homogene polynoom?

De definitie van een homogeen polynoom is als volgt:

In de wiskunde is een homogeen polynoom een polynoom waarin alle termen van dezelfde graad zijn.

Een voorbeeld van een homogeen polynoom zou zijn:

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

In dit geval is het een homogeen polynoom van graad 3, aangezien alle monomialen die deel uitmaken van het polynoom van de derde graad zijn.

Als u twijfelt over hoe de graad van een term van een homogeen polynoom wordt berekend, kunt u onze pagina raadplegen over wat de onderdelen van een monomiaal zijn . Hier vindt u niet alleen hoe u de graad van een monomiaal kunt vinden, maar ook hoe u de graad van een monomiaal kunt vinden. de uitleg van alle delen van een monomial en hoe je ze kunt identificeren. Daarnaast kun je voorbeelden zien en oefenen met oefeningen die stap voor stap worden opgelost.

Voorbeelden van homogene polynomen

Als we eenmaal hebben gezien wat het betekent dat een polynoom homogeen is, gaan we kijken naar enkele voorbeelden van homogene polynomen om het begrip van het concept te voltooien:

Voorbeeld van een homogeen polynoom van graad 5:

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

Voorbeeld van een homogeen polynoom van graad 7:

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

Voorbeeld van een homogeen polynoom van graad 13:

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

Homogene polynoom en heterogene polynoom

Opgemerkt moet worden dat een ander polynoom dat sterk lijkt op het homogene polynoom het heterogene polynoom is, hoewel er een fundamenteel verschil tussen beide bestaat:

Een heterogene polynoom is een polynoom waarin niet alle termen dezelfde graad hebben.

Daarom zal de polynoom alleen heterogeen zijn als een monomiaal van het polynoom een andere graad heeft dan de rest van de elementen.

De volgende polynoom is bijvoorbeeld heterogeen:

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

Hoewel twee van de termen in de polynoom van graad 4 zijn (x ⁴ , 2x ³ y), is het feitelijk een heterogene polynoom omdat het een andere term van verschillende graad heeft (8x ² is van graad 2).

Zoals je kunt zien, lijken homogene en heterogene polynomen erg op elkaar en zijn ze gemakkelijk met elkaar te verwarren, dus we moeten voorzichtig zijn.

Eigenschappen van homogene polynomen

Homogene polynomen hebben de volgende kenmerken

Het aantal verschillende homogene monomialen van graad M in een polynoom van N variabelen kan worden berekend met behulp van de volgende formule:

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

Misschien is de “ ! ” » Het lijkt je vreemd dat het in de algebra wordt gebruikt. Welnu, je moet weten dat het wordt gebruikt om een speciale wiskundige bewerking aan te duiden, de zogenaamde faculteit van een getal . In de vorige link kunt u zien waaruit deze handeling bestaat en waarvoor deze wordt gebruikt.

De uitdrukking voor de Taylorreeks die overeenkomt met een homogeen polynoom uitgebreid op het punt x is als volgt:

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

Om deze eigenschap echter te kunnen toepassen (en begrijpen), moet u weten hoe de uitdrukking wordt berekend

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

een combinatorisch getal genoemd. Daarom raad ik u aan, als u de vorige eigenschap niet begrijpt, te kijken wat de formule is voor het combinatorische getal .

Wat is een homogene polynoom?

Voorbeelden van homogene polynomen

Homogene polynoom en heterogene polynoom

Eigenschappen van homogene polynomen

Laat een reactie achter Reactie annuleren