Hoe de determinant van een 4×4-matrix te berekenen aan de hand van complementen of cofactoren

Op deze pagina zullen we zien hoe we een determinant kunnen oplossen door optellingen of cofactoren en ook hoe we de determinant van een matrix met dimensie 4×4 kunnen berekenen . Om echter de determinant van een matrix van orde 4 op te lossen, moet je eerst weten hoe je een determinant kunt berekenen met behulp van de adjuncten van een rij of kolom. We zullen daarom eerst zien hoe we een determinant kunnen vinden aan de hand van adjuncten of cofactoren, en vervolgens hoe we een determinant van orde 4 kunnen maken .

Hoe bereken je een determinant door optellingen of cofactoren?

Een determinant kan worden berekend door de producten van de elementen in een rij of kolom op te tellen aan de hand van hun respectievelijke complementen (of cofactoren) .

Deze methode wordt het oplossen van een determinant door adjuncten of cofactoren genoemd, of er zijn zelfs wiskundigen die je ook de regel van Laplace (of de stelling van Laplace) vertellen.

Voorbeeld van het oplossen van een determinant door plaatsvervangers:

Laten we een praktisch voorbeeld bekijken van het oplossen van de determinant van een 3 × 3-matrix door adjuncten. Laten we de volgende determinant maken:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

Eerst moeten we een kolom of rij van de determinant kiezen. In dit geval kiezen we voor de eerste kolom , omdat deze een 0 heeft en daarom gemakkelijker op te lossen is.

We moeten nu de elementen van de eerste kolom vermenigvuldigen met hun respectieve plaatsvervangers :

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Het complement van 0 hoeft niet te worden berekend, omdat het vermenigvuldigen met 0 het zal annuleren. We kunnen daarom vereenvoudigen:

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

We gaan nu verder met het berekenen van de complementen :

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

Vergeet niet dat om de plaatsvervanger van te berekenen

$a_{ij}$

, dwz regelitem

$i$

en de kolom

$j$

, moet de volgende formule worden toegepast:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

waar de complementaire minor van

$a_{ij}$

is de determinant van de matrix door de rij te verwijderen

$i$

en de kolom

$j$

We lossen de machten en de determinanten op:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

En we werken met de rekenmachine:

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

Daarom is het resultaat van de determinant -3.

Merk op dat als we de determinant berekenen met de regel van Sarrus, we hetzelfde resultaat verkrijgen:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

Zodra we weten hoe een determinant door deputaten wordt berekend, kunnen we nu zien hoe we het resultaat van een determinant van orde 4 kunnen vinden:

Hoe bereken je een 4×4-determinant?

Om de determinant van een matrix van orde 4 op te lossen, moeten we de procedure toepassen die we zojuist voor de plaatsvervangers hebben gezien. Dat wil zeggen, we kiezen elke rij of kolom, en we voegen de producten van de elementen toe aan de hand van hun respectievelijke complementen.

Bij gebruik van deze procedure met een 4 × 4-determinant moeten echter veel 3 × 3-determinanten worden berekend, en deze duren doorgaans lang. Daarom worden, voordat de adjuncten worden berekend , transformaties op de lijnen uitgevoerd , vergelijkbaar met de Gaussiaanse methode. Omdat een rij van een determinant kan worden vervangen door de som van dezelfde rij plus een andere rij, vermenigvuldigd met een getal.

Om een determinant van orde 4 door deputaten te berekenen, moet men daarom de kolom kiezen die de meeste nullen bevat , omdat dit de berekeningen zal vergemakkelijken. En vervolgens voeren we interne bewerkingen uit op de rijen, zodat alle elementen in de kolom op één na nul zijn.

Laten we eens kijken hoe een 4×4-determinant wordt gemaakt met een voorbeeld:

Voorbeeld van het oplossen van een 4×4 determinant:

We zullen deze determinant van de volgende 4×4 vierkante matrix oplossen:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

In dit geval is de kolom met de meeste nullen de eerste kolom. Daarom kiezen we voor de eerste kolom.

En profiterend van het feit dat er een 1 in deze kolom staat, zullen we alle andere elementen van de eerste kolom naar 0 converteren. Omdat het gemakkelijker is om berekeningen uit te voeren met de rij die een 1 heeft.

Om alle andere elementen in de kolom in 0 te veranderen, voegen we daarom de eerste rij toe aan de tweede rij en trekken we de eerste rij vermenigvuldigd met 2 af van de vierde rij . De derde rij hoeft niet gewijzigd te worden, omdat er in de eerste kolom al een 0 staat.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Nadat we op één na alle elementen in de gekozen kolom naar 0 hebben omgezet, berekenen we de determinant door deputaten. Dat wil zeggen , we voegen de producten van de elementen van de kolom toe door hun respectievelijke plaatsvervangers:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Termen vermenigvuldigd met 0 annuleren, dus we vereenvoudigen ze:

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

Het is daarom voldoende om de adjunct van 1 te berekenen:

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

De determinant berekenen we met de Sarrusregel en de macht:

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

En tot slot lossen we de bewerkingen op met de rekenmachine:

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

Opgeloste oefeningen van 4×4 determinanten

Oefening 1

Los de volgende determinant van orde 4 op:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Het resultaat van de 4×4-determinant vinden we met de cofactormethode. Maar eerst voeren we bewerkingen uit met de rijen om alle elementen van een kolom op nul in te stellen, behalve één:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

En nu lossen we de determinant 4×4 op door adjuncten met de laatste kolom:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

We vereenvoudigen de termen:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

We berekenen de adjunct van 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

En tenslotte berekenen we de 3×3 determinant met de regel van Sarrus:

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

Oefening 2

Bereken de volgende determinant van orde 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

zie oplossing

We zullen de 4×4-determinant berekenen met behulp van cofactoren. Maar om dit te doen, voeren we eerst bewerkingen uit met de rijen om alle elementen van een kolom op nul in te stellen, behalve één:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

Nu lossen we de determinant 4×4 op door adjuncten met de tweede kolom:

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

We vereenvoudigen de termen:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

We berekenen de adjunct van 1:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

En tenslotte berekenen we de 3×3 determinant met de Sarrusregel en de rekenmachine:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

Oefening 3

Zoek het resultaat van de volgende determinant van orde 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

zie oplossing

We zullen de 4×4-determinant oplossen door plaatsvervangers. Hoewel we eerst bewerkingen met de rijen uitvoeren om op één na alle elementen in een kolom naar nul te converteren:

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

Nu lossen we de determinant 4×4 op door deputaten met de derde kolom:

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

We vereenvoudigen de termen:

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

We berekenen de adjunct van 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

En tenslotte lossen we de 3×3 determinant op met de Sarrusregel en de rekenmachine:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

Oefening 4

Bereken het resultaat van de volgende determinant van orde 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

zie oplossing

We zullen de determinant 4×4 oplossen met behulp van de regel van Laplace. Maar u moet eerst bewerkingen uitvoeren met de rijen om alle elementen in een kolom op nul in te stellen, op één na:

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

Nu lossen we door deputaten de determinant 4×4 op met de eerste kolom:

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

We vereenvoudigen de termen:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

$=- \text{Adj(-1)}$

We berekenen de adjunct van -1:

$\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}$

En tenslotte lossen we de 3×3 determinant op met de Sarrusregel en de rekenmachine:

$\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]$

$\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]$

$\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{-441}$

Met al deze oefening weet je waarschijnlijk al hoe je 4×4-determinanten moet oplossen. Fantastisch! We hopen dat je met al deze oefeningen nu de reikwijdte van een matrix met dimensie 4×4 kunt berekenen die zoveel mensen kost.

Hoe bereken je een determinant door optellingen of cofactoren?

Voorbeeld van het oplossen van een determinant door plaatsvervangers:

Hoe bereken je een 4×4-determinant?

Voorbeeld van het oplossen van een 4×4 determinant:

Opgeloste oefeningen van 4×4 determinanten

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Laat een reactie achter Reactie annuleren