Minor, assistent en assistent complementaire matrix

In deze sectie zullen we zien wat ze zijn en hoe je een complementaire minor, een adjunct en de adjunct-matrix kunt berekenen. Daarnaast vind je voorbeelden, zodat je het perfect begrijpt, en oefeningen stap voor stap opgelost, zodat je kunt oefenen.

Wat is de aanvullende minor?

Het wordt het kleine complement van een element genoemd.

$a_{ij}$

aan de determinant die wordt verkregen door het verwijderen van de lijn

$i$

en de kolom

$j$

van een matrix.

Hoe bereken je de complementaire minor van een element?

Laten we eens kijken hoe de complementaire minor van een element wordt berekend aan de hand van enkele voorbeelden:

Voorbeeld 1:

Bereken het kleine complement van 1 van de volgende 3 × 3 vierkante matrix:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

De complementaire minor van 1 is de determinant van de matrix die overblijft bij het elimineren van de rij en kolom waar de 1 zich bevindt. Dat wil zeggen, het verwijderen van de eerste rij en de tweede kolom:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Voorbeeld 2:

Deze keer berekenen we de complementaire minor van 0 van dezelfde matrix als voorheen:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

De complementaire minor van 0 is de determinant van de matrix door de rij en kolom te verwijderen waar de 0 is:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Opgeloste oefeningen voor aanvullende minoren

Oefening 1

Bereken het kleinste complement van 3 van de volgende 3×3-matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

zie oplossing

De complementaire minor van 3 is de determinant van de matrix die overblijft na het verwijderen van de rij en kolom waar de 3 is:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Oefening 2

Zoek de complementaire minor van 5 uit de volgende matrix van orde 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

zie oplossing

De complementaire minor van 5 is de determinant van de matrix die we verkrijgen door de rij en kolom te verwijderen waar de 5 is:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Oefening 3

Bereken het kleine complement van 6 van de volgende 4×4-matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

zie oplossing

De complementaire minor van 6 is de determinant van de matrix die overblijft na het verwijderen van de rij en kolom waar de 6 is:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

We lossen de determinant op met de Sarrusregel:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Wat is de adjoint van een array-element?

De plaatsvervanger van

$a_{ij}$

, dwz regelitem

$i$

en de kolom

$j$

, wordt verkregen met de volgende formule:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Hoe krijg ik de adjoint van een array-element?

Laten we eens kijken hoe de adjunct van een element wordt berekend aan de hand van verschillende voorbeelden:

Voorbeeld 1:

Bereken de adjunct van 4 van de volgende matrix van orde 3:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

De 4 staat in rij 2 en kolom 1 , dus in dit geval

$i = 2$

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

En zoals we eerder zagen, is het kleine complement van 4 de determinant van de matrix, waardoor de rij en kolom worden geëlimineerd waar de 4 zich bevindt. Daarom:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Nu lossen we de determinant op en vinden de adjunct van 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Onthoud dat een negatief getal verhoogd tot een even exponent positief is. Als de -1 wordt verhoogd naar een even getal, wordt deze dus positief.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

Aan de andere kant, als een negatief getal wordt verhoogd tot een oneven exponent, is het negatief. Als de -1 wordt verhoogd naar een oneven getal, zal deze dus altijd negatief zijn.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Voorbeeld 2:

We zullen de plaatsvervanger van 5 vinden van dezelfde matrix als voorheen:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Voorbeeld 3:

Laten we de plaatsvervanger van 3 van dezelfde matrix maken:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

De adjoint van een element wordt gebruikt om determinanten te berekenen, zoals we later zullen zien, en om de adjunct-matrix te berekenen, wat we nu zullen zien.

Opgeloste oefeningen voor assistenten

Oefening 1

Bereken de adjunct van 2 van de volgende 3×3 matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om het resultaat van de adjoint van 2 te verkrijgen, past u eenvoudigweg de formule voor de adjoint van een element toe:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Oefening 2

Zoek de adjunct van 4 van de volgende matrix van orde 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om de plaatsvervanger van 4 te verkrijgen, moeten we de formule voor de plaatsvervanger van een element gebruiken:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Oefening 3

Zoek de plaatsvervanger van 7 van de volgende 4×4-matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om de adjunct van 7 te maken, passen we de formule voor de adjunct van een element toe:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

We passen de regel van Sarrus toe om de determinant van de derde orde op te lossen:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Wat is de bijgevoegde matrix?

De bijgevoegde array is een array waarin alle elementen zijn vervangen door hun plaatsvervangers.

Hoe bereken ik de adjunct-matrix?

Om de plaatsvervangermatrix te berekenen, moeten we alle elementen van de matrix vervangen door hun plaatsvervangers.

Laten we eens kijken hoe de samengevoegde matrix wordt gemaakt aan de hand van een voorbeeld:

Voorbeeld:

Bereken de adjunct-matrix van de volgende vierkante matrix met afmeting 2×2:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Om de adjunct-matrix te berekenen, moeten we de adjunct van elk element van de matrix berekenen . Daarom zullen we eerst de adjuncten van alle elementen oplossen met de formule:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Nu hoeven we alleen maar elk element in de array te vervangen

$A$

door zijn plaatsvervanger om de plaatsvervangermatrix van te vinden

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

En op deze manier wordt de plaatsvervanger van een matrix gevonden. Maar u vraagt zich waarschijnlijk af waar al deze berekeningen voor dienen? Welnu, een van de voordelen van matrix join is het berekenen van de inverse van een matrix . In feite is de meest gebruikelijke methode voor het vinden van de inverse matrix de adjunct-matrixmethode.

Adjunct-matrixproblemen opgelost

Oefening 1

Bereken de adjunct-matrix van de volgende 2×2 vierkante matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om de adjunct-matrix te berekenen, moeten we de adjunct-waarde van elk element van de matrix berekenen. Daarom zullen we eerst de adjuncten van alle elementen oplossen met de formule:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Nu hoeven we alleen maar elk element in de array te vervangen

$A$

door zijn plaatsvervanger om de plaatsvervangermatrix van te vinden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Oefening 2

Zoek de adjunct-matrix van de volgende tweede-orde matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om de adjunct-matrix te berekenen, moeten we de adjunct-waarde van elk element van de matrix berekenen. Daarom zullen we eerst de adjuncten van alle elementen oplossen met de formule:

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Nu hoeven we alleen maar elk element in de array te vervangen

$A$

door zijn plaatsvervanger om de plaatsvervangermatrix van te vinden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Oefening 3

Bereken de adjunct-matrix van de volgende 3×3-matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

zie oplossing

Om de adjunct-matrix te berekenen, moeten we de adjunct-waarde van elk element van de matrix berekenen. Daarom zullen we eerst de adjuncten van alle elementen oplossen met de formule:

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Nu hoeven we alleen maar elk element in de array te vervangen

$A$

door zijn plaatsvervanger om de plaatsvervangermatrix van te vinden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Wat is de aanvullende minor?

Hoe bereken je de complementaire minor van een element?

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2:

Opgeloste oefeningen voor aanvullende minoren

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Wat is de adjoint van een array-element?

Hoe krijg ik de adjoint van een array-element?

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2:

Voorbeeld 3:

Opgeloste oefeningen voor assistenten

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Wat is de bijgevoegde matrix?

Hoe bereken ik de adjunct-matrix?

Voorbeeld:

Adjunct-matrixproblemen opgelost

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Laat een reactie achter Reactie annuleren