Matrix transponeren (of transponeren)

Op deze pagina zullen we zien hoe we de transpositiematrix (of transpositiematrix) berekenen. Je ziet ook opgeloste oefeningen zodat je geen twijfels hebt over hoe je een matrix moet transponeren.

Hoe bereken ik de getransponeerde matrix (of transpositie)?

De transponeermatrix , ook wel de transponeermatrix genoemd, is de matrix die wordt verkregen door rijen in kolommen te veranderen . De getransponeerde matrix wordt weergegeven door een “t” rechtsboven in de matrix te plaatsen (A t ).

Laten we bijvoorbeeld de volgende matrix transponeren:

\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}

Om de matrix A te transponeren, verandert u eenvoudigweg de rijen met de kolommen . Met andere woorden, de eerste rij van de matrix wordt de eerste kolom van de matrix en de tweede rij van de matrix wordt de tweede kolom van de matrix:

\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

Hier zijn verschillende uitgewerkte voorbeelden van hoe u de getransponeerde matrix kunt vinden:

Voorbeelden van getransponeerde matrices

voorbeeld 1

\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}

\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}

Voorbeeld 2

\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}

\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}

Voorbeeld 3

\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}

Voorbeeld 4

\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}

\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Een van de toepassingen van matrixtransponering is het berekenen van de inverse matrix met de bijgevoegde matrixformule of met behulp van determinanten . Hoewel je om deze methode te gebruiken ook moet weten hoe je determinatoren moet oplossen, vind je op de gelinkte pagina een uitleg van de hele procedure en kun je ook voorbeelden en oefeningen zien die stap voor stap worden opgelost.

Eigenschappen van de getransponeerde matrix

De getransponeerde matrix heeft de volgende kenmerken:

  • Involutionele eigenschap: De transpositie van een getransponeerde matrix is gelijk aan de originele matrix.

\left(A^t\right)^t = A

  • Distributieve eigenschap: het optellen van twee matrices en het transponeren van het resultaat komt neer op het eerst transponeren van elke matrix en deze vervolgens optellen:

\left(A+B\right)^t = A^t+B^t

  • Lineaire eigenschap (product van matrices): Het vermenigvuldigen van twee matrices en vervolgens het transponeren van het resultaat is gelijk aan het eerst transponeren van elke matrix en vervolgens vermenigvuldigen, maar de volgorde van vermenigvuldiging wisselen:

\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t

  • Lineaire (constante) eigenschap: Het transponeren van het resultaat van het product van een matrix met een constante is gelijk aan het vermenigvuldigen van de matrix die al is getransponeerd met de constante.

\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t

  • Symmetrische matrix: Als de transponering van een matrix gelijk is aan de matrix zonder transponering, zeggen we dat het een symmetrische matrix is:

\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}

  • Antisymmetrische eigenschap: Als we bij het transponeren van een wiskundige matrix dezelfde matrix verkrijgen, maar waarbij alle elementen van teken veranderen, is het een antisymmetrische matrix:

\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}

Laat een reactie achter

Je e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Scroll naar boven