De lijn: definitie, kenmerken, typen, vergelijking…; -Mathoriteit

Uitleg van alles wat met de lijn te maken heeft: wat het is, de verschillende soorten die er zijn, hoe je een lijn wiskundig uitdrukt (vergelijkingen), wat zijn de relatieve posities van de lijnen, hoe bereken je de hoek tussen twee lijnen, de interpretatie van de lijn helling van een lijn,….

Wat is een lijn?

De wiskundige definitie van de lijn is als volgt:

Een lijn is een oneindige reeks opeenvolgende punten die in dezelfde richting worden weergegeven, zonder krommen of hoeken.

Aan de andere kant komt een lijn overeen met de minimaal mogelijke afstand tussen twee verschillende punten.

Bovendien is een lijn een lijn die zich in dezelfde richting uitstrekt en dus slechts één dimensie heeft.

Lijntypen

We hebben zojuist gezien wat lijnen zijn, maar je moet weten dat er meer dan één type lijn bestaat, elk met zijn eigen kenmerken. De lijnen kunnen dus als volgt worden geclassificeerd:

Parallelle lijnen

Parallelle lijnen zijn die lijnen die elkaar nooit kruisen, dat wil zeggen: zelfs als hun trajecten zich tot in het oneindige uitstrekken, raken ze elkaar nooit. Daarom liggen de punten van twee parallelle lijnen altijd op dezelfde afstand van elkaar en bovendien hebben twee parallelle lijnen geen gemeenschappelijke punten.

snijdende lijnen

In de wiskunde snijden twee lijnen elkaar wanneer ze elkaar slechts op één punt snijden. Daarom hebben snijdende lijnen slechts één punt gemeen.

Een voorbeeld van elkaar snijdende lijnen zijn loodrechte lijnen . Dit zijn lijnen die elkaar kruisen op een punt dat vier gelijke rechte hoeken vormt (90º).

Zoals je wel weet zijn loodrechte lijnen erg belangrijk en daarom hebben we een pagina met uitleg over alles wat je moet weten over dit soort lijnen: wanneer twee lijnen loodrecht staan, hoe bereken je een lijn loodrecht op elkaar, voorbeelden en opgeloste oefeningen over loodrechte lijnen, en nog veel meer. Dus ik laat je de pagina met loodrechtheid tussen lijnen achter voor het geval je meer wilt weten.

Aan de andere kant worden lijnen die elkaar snijden maar niet kruisen en een hoek van 90 graden vormen, maar een andere hoek, schuine lijnen genoemd.

samenvallende lijnen

Twee samenvallende lijnen zijn twee lijnen die al hun punten gemeen hebben. Daarom zijn twee samenvallende lijnen volledig identiek.

straal

Een halve lijn wordt elk van de twee delen genoemd waarin een lijn is verdeeld door deze op een van de punten door te snijden.

De vorige lijn kan bijvoorbeeld worden gedeeld door punt A, waardoor halve lijnen ontstaan

$s$

$t.$

Vergelijking van de lijn

Om elke lijn analytisch uit te drukken, gebruiken we in de analytische meetkunde de vergelijkingen van de lijn . En om de vergelijking van een lijn te vinden, hetzij in het vlak (in R2) of in de ruimte (in R3), heb je alleen een punt nodig dat bij de lijn hoort en de richtingsvector van die lijn.

Zoals u kunt zien in de grafische weergave van de vorige regel, worden de regels in dit geval met een kleine letter benoemd

$r.$

Er zijn verschillende soorten vergelijkingen van een lijn. Alle soorten lijnvergelijkingen hebben hetzelfde doel: een lijn wiskundig weergeven. Maar elke vergelijking van de lijn heeft zijn eigen eigenschappen en daarom is het, afhankelijk van het probleem, beter om de een of de ander te gebruiken. Hieronder heb je de formules voor alle vergelijkingen van de lijn.

Vectorvergelijking van de lijn

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

De formule voor de vectorvergelijking van de lijn is:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesiaanse coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

is een scalair (een reëel getal) waarvan de waarde afhangt van elk punt op de lijn.

Parametrische vergelijkingen van de lijn

De formule voor de parametervergelijking van een lijn is als volgt:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesische coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

is een scalair (een reëel getal) waarvan de waarde afhangt van elk punt op de lijn.

Continue vergelijking van de lijn

De formule voor de continue vergelijking van de lijn is:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesiaanse coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Impliciete of algemene vergelijking van de lijn

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

De formule voor de impliciete, algemene of cartesiaanse vergelijking van de lijn is:

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesiaanse coördinaten van elk punt op de lijn.
de coëfficiënt
$A$

is de tweede component van de richtingsvector van de lijn:

$A=\text{v}_2}$
de coëfficiënt
$B$

is de eerste component van het richtingsvector veranderd teken:

$B=-\text{v}_1}$
de coëfficiënt
$C$

wordt berekend door het bekende punt te vervangen

$P$

in de vergelijking van de lijn.

de formule kan de impliciete vergelijking van een lijn ook worden verkregen door de breuken van de continue vergelijking te vermenigvuldigen.

Expliciete vergelijking van de lijn

De formule voor de expliciete vergelijking van de lijn is:

Goud:

$m$

is de helling van de lijn.
$n$

het y-snijpunt, dat wil zeggen de hoogte waarop het de Y-as snijdt.

In dit specifieke geval is een andere manier om de expliciete vergelijking te berekenen het gebruik van de impliciete vergelijking; Om dit te doen, verwijdert u eenvoudigweg de variabele

$y$

van de impliciete vergelijking.

Punt-hellingvergelijking van de lijn

De formule voor de punt-hellingvergelijking van de lijn is als volgt:

Goud:

$m$

is de helling van de lijn.
$P_1, P_2$

zijn de coördinaten van een punt op de lijn

$P(P_1,P_2).$

Canonieke of segmentale vergelijking van de lijn

Hoewel deze variant van de vergelijking van de lijn minder bekend is, kan de canonieke vergelijking van de lijn worden verkregen uit de snijpunten van de lijn met de cartesische assen.

Laat de twee snijpunten met de assen van een gegeven lijn zijn:

Snijden met de X-as:

$(a,0)$

Snijden met Y-as:

$(0,b)$

De formule voor de canonieke vergelijking van de lijn is:

We hebben zojuist de formules voor alle vergelijkingen van de lijn gezien, maar als je wilt, kun je dieper gaan en oefenen met oefeningen over de vergelijkingen van de lijn . Bovendien ziet u op deze pagina een meer gedetailleerde uitleg van éénregelige vergelijkingen en voorbeelden van hoe alle soorten éénregelige vergelijkingen worden berekend.

Betekenis van de helling van een lijn

Met alle bovenstaande informatie weten we al volledig hoe de vergelijking van een lijn eruit ziet en dat een manier om een lijn te beschrijven de helling is. Maar echt… wat betekent de helling van een lijn?

De helling van een lijn geeft de verticale eenheden aan waarmee de lijn stijgt voor elke horizontale eenheid van de grafiek.

In de weergave van de volgende lijn kunt u bijvoorbeeld zien dat deze voor elke horizontale eenheid 2 verticale eenheden vooruitgaat, omdat de helling gelijk is aan 2.

Bovendien geeft de helling van een lijn ook de steilheid aan:

Als een lijn stijgend (stijgend) is, is de helling ervan positief.
Als een lijn afneemt (aflopend), is de helling negatief.
Als een lijn volledig horizontaal is, is de helling gelijk aan 0.
Als een lijn volledig verticaal is, is de helling gelijk aan oneindig.

helling van een positieve of negatieve lijn

Relatieve positie van twee lijnen in het vlak

Bij het werken met twee dimensies (in R2) zijn er 3 soorten mogelijke relatieve posities tussen twee lijnen:

snijdende lijnen

Twee snijdende lijnen hebben slechts één punt gemeen.

Parallelle lijnen

Twee lijnen zijn evenwijdig als ze geen gemeenschappelijk punt hebben. Tenminste, als ze elkaar nooit kruisen.

samenvallende lijnen

Twee lijnen zijn hetzelfde als al hun punten gemeenschappelijk zijn.

Aan de andere kant hangt de hoek tussen twee lijnen in het vlak ook af van hun relatieve positie:

Snijdende lijnen snijden elkaar onder een hoek tussen 0º (niet inbegrepen) en 90º (inclusief). Als ze bovendien slechts een rechte hoek van 90 graden vormen, betekent dit dat de twee lijnen loodrecht staan.
Evenwijdige lijnen vormen een hoek van 0º, omdat ze dezelfde richting hebben.
En om dezelfde reden maken de samenvallende lijnen ook een hoek van 0° ertussen.

Hoek tussen twee lijnen

Er zijn verschillende methoden om de hoek tussen twee lijnen te berekenen en sommige zijn behoorlijk ingewikkeld. Daarom zullen we de eenvoudigste manier uitleggen om de hoek tussen twee lijnen te bepalen.

De formule voor het berekenen van de hoek tussen twee lijnen met behulp van hun richtingsvectoren is:

Gegeven de richtingsvectoren van twee verschillende lijnen:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

De hoek tussen deze twee lijnen kan worden berekend met de volgende formule:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Goud

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

zijn de modules van de vectoren

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

respectievelijk.

Onthoud dat de formule voor de grootte van een vector is:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Het is duidelijk dat als we eenmaal de cosinus van de hoek gevormd door de twee lijnen hebben berekend met behulp van de formule, we de cosinus moeten omkeren om de waarde van de hoek te kennen.

Wat is een lijn?

Lijntypen

Parallelle lijnen

snijdende lijnen

samenvallende lijnen

straal

Vergelijking van de lijn

Vectorvergelijking van de lijn

Parametrische vergelijkingen van de lijn

Continue vergelijking van de lijn

Impliciete of algemene vergelijking van de lijn

Expliciete vergelijking van de lijn

Punt-hellingvergelijking van de lijn

Canonieke of segmentale vergelijking van de lijn

Betekenis van de helling van een lijn

Relatieve positie van twee lijnen in het vlak

Hoek tussen twee lijnen

Laat een reactie achter Reactie annuleren