Vergelijking van de lijn die door twee punten gaat (formule)

Hier vindt u de formule om snel de vergelijking te vinden van de lijn die door twee punten gaat. Daarnaast kun je voorbeelden zien en oefenen met opgeloste oefeningen van vergelijkingen van de lijn bepaald door 2 punten.

Formule voor de vergelijking van de lijn die door twee punten gaat

Een typisch lijnvergelijkingsprobleem is het berekenen van de vergelijking van de lijn die wordt bepaald door twee gegeven punten. Hoewel er verschillende methoden zijn om dit soort problemen op te lossen, is hier een formule waarmee je de vergelijking van de genoemde lijn snel en eenvoudig direct kunt vinden:

Beschouw twee punten op een lijn:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

De formule om de vergelijking van de lijn vanuit de twee punten te vinden is:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

De formule voor de vergelijking van de lijn gegeven twee van zijn punten wordt afgeleid uit de punt-hellingsvergelijking van de lijn :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Omdat de helling van een lijn kan worden berekend met de volgende uitdrukking:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Het blijkt dat de formule voor de vergelijking gegeven de coördinaten van twee punten:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Om de vergelijking van een lijn te bepalen, hoeft u dus alleen maar twee punten te kennen waar deze doorheen gaat.

Voorbeeld van hoe u de vergelijking van een lijn kunt vinden op basis van twee punten

Als we eenmaal hebben gezien wat de formule is voor de vergelijking van de lijn die 2 punten hierboven is gegeven, gaan we nu kijken hoe een typische oefening van vergelijkingen van de lijn wordt opgelost:

Wat is de vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Omdat we al twee punten kennen die op de lijn liggen, gebruiken we de formule rechtstreeks om de vergelijking te berekenen:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Nu vervangen we de coördinaten van de punten in de formule:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

En ten slotte berekenen we de helling van de lijn:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

De vergelijking van de lijn die door deze twee punten gaat, is daarom:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Omdat de verklaring ons niet anders vertelt, is het niet nodig om de vergelijking van de lijn verder te vereenvoudigen, zelfs als er nog een breuk over is.

Opgeloste problemen van de vergelijking van de lijn die door twee punten gaat

Oefening 1

Zoek de vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

zie oplossing

Omdat we al twee punten op de lijn kennen, passen we de formule voor de vergelijking van de lijn rechtstreeks toe op 2 gegeven punten:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Nu vervangen we de cartesiaanse coördinaten van de punten in de formule:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

En ten slotte berekenen we de helling van de lijn:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

De vergelijking van de lijn die door deze twee punten gaat, is daarom:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Oefening 2

Zoek de vergelijking van de lijn die door de volgende twee punten gaat:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

zie oplossing

Omdat we al twee punten kennen die bij de lijn horen, gebruiken we direct de formule voor de vergelijking van de bekende lijn met 2 punten:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Nu vervangen we de coördinaten van de punten in de formule:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

En ten slotte voeren we de bewerkingen uit:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

De vergelijking van de lijn die door deze twee punten gaat, is daarom:

$\bm{y= -x-2}$

Oefening 3

Bepaal, zonder berekeningen uit te voeren, een punt dat op de volgende lijn ligt:

$y-2= 4(x+1)$

zie oplossing

Een punt op de lijn kan worden afgeleid uit de formule voor de vergelijking van de lijn die door 2 punten gaat:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

De Y-coördinaat van het punt is de term vóór de variabele

$y$

het teken is gewijzigd, en de X-coördinaat van het punt is het getal tussen de negatieve haakjes:

$\bm{P(-1,2)}$

Oefening 4

Zoek een derde punt op de lijn dat wordt gedefinieerd door de volgende twee punten:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

zie oplossing

We moeten eerst de vergelijking van de lijn vinden met de formule:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

En zodra de vergelijking van de lijn die door de twee punten gaat gevonden is, berekenen we een derde punt, waarbij we een waarde aan een van de variabelen geven. Dat zullen wij bijvoorbeeld doen

$x=0:$