Bereken het snijpunt of snijpunt tussen twee lijnen

Hier ziet u hoe het snijpunt (of snijpunt) tussen twee lijnen wordt berekend. Ook krijg je voorbeelden te zien en kun je oefenen met stap voor stap opgeloste oefeningen.

Wat is het grens- of snijpunt tussen twee lijnen?

Het snijpunt (of snijpunt) tussen twee lijnen is het punt waar twee verschillende lijnen elkaar kruisen. Wanneer twee verschillende lijnen een snijpunt of snijpunt hebben, betekent dit dat ze op één punt samenvallen.

Als twee lijnen elkaar in een punt willen snijden, moeten het elkaar snijdende lijnen zijn, aangezien evenwijdige lijnen elkaar op geen enkel punt raken.

Als u niet meer precies weet wat kruisende lijnen nu zijn, raden we u aan onze pagina Voorbeelden van kruisende lijnen te bekijken, waar u een gedetailleerde uitleg vindt van wat dit soort lijnen zijn en hoe u kunt zien of twee lijnen elkaar kruisen of niet.

Hoe bereken je het grens- of snijpunt tussen twee lijnen?

Nadat we de definitie van het snijpunt of het snijpunt tussen twee lijnen hebben gezien, gaan we nu kijken hoe het genoemde punt wordt berekend.

Om het snijpunt (of snijpunt) tussen twee lijnen te vinden, moet je er eerst voor zorgen dat de twee lijnen niet evenwijdig zijn, want als het twee evenwijdige lijnen zijn, zullen ze elkaar op geen enkel punt snijden. Daarom moet je eerst weten hoe je kunt bepalen wanneer twee lijnen evenwijdig zijn en wanneer niet; Als je niet meer weet hoe je het moet doen, kun je het opnieuw bekijken door op de link te klikken.

Als we eenmaal weten dat de twee lijnen niet evenwijdig zijn, moeten we, om het snijpunt (of snijpunt) tussen de twee lijnen te bepalen, het stelsel vergelijkingen oplossen dat wordt gevormd door de vergelijking van elke lijn. En het resultaat van genoemd systeem van vergelijkingen zal de coördinaten zijn van het snijpunt (of snijpunt) tussen de twee lijnen.

Voorbeeld van hoe u het snijpunt of snijpunt tussen twee lijnen kunt vinden

We zullen als voorbeeld een probleem oplossen, zodat u kunt zien hoe u het snijpunt (of snijpunt) tussen 2 lijnen kunt vinden:

Zoek het snijpunt tussen de volgende twee lijnen:

$r: \ y=4x-1 \qquad \qquad s: \ y=-2x+5$

Ten eerste zijn de lijnen niet evenwijdig omdat ze verschillende hellingen hebben, dus snijden ze elkaar allebei in een punt op het cartesiaanse vlak.

Om dit te weten te komen, moeten we het stelsel vergelijkingen oplossen dat bestaat uit de vergelijking van elke lijn:

$\left. \begin{array}{l} y=4x-1 \\[2ex] y=-2x+5 \end{array} \right\}$

In dit specifieke geval zullen we het systeem oplossen met de egalisatiemethode, aangezien de twee onbekenden

$y$

zijn al opgelost (beide regels zijn in expliciete vergelijkingsvorm):

$y= y$

$4x-1=-2x+5$

We verwijderen de waarde van de variabele

$x:$

$4x+2x=5+1$

$6x=6$

$x = \cfrac{6}{6}$

$x = 1$

En als je eenmaal weet hoeveel het waard is

$x,$

We vervangen de waarde ervan in elke vergelijking om de waarde ervan te vinden

$y:$

$y=4x-1 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ y=4\cdot 1-1$

$y =4-1$

$y =3$

Zodat de coördinaten van het snijpunt tussen de twee lijnen zijn:

$\bm{(1,3)}$

Problemen opgelost met het snijpunt of het snijpunt van twee lijnen

Oefening 1

Wat is het snijpunt of snijpunt tussen de volgende twee lijnen?

$r: \ y=x+5 \qquad \qquad s: \ y=2x+3$

zie oplossing

Ten eerste zijn de lijnen niet evenwijdig omdat ze verschillende hellingen hebben, zodat de twee lijnen elkaar op een bepaald punt in het vlak zullen ontmoeten.

Om dit punt te berekenen, is het noodzakelijk om het systeem van vergelijkingen op te lossen dat wordt gevormd door de vergelijking van elke lijn:

$\left. \begin{array}{l} y=x+5 \\[2ex] y=2x+3 \end{array} \right\}$

In dit geval zullen we het stelsel vergelijkingen oplossen met de egalisatiemethode, aangezien de twee onbekenden

$y$

zijn al opgelost (beide regels zijn in expliciete vergelijkingsvorm):

$y= y$

$x+5=2x+3$

We verwijderen de waarde van de variabele

$x:$

$x-2x=3-5$

$-x=-2$

$x=2$

En als je eenmaal weet hoeveel het waard is

$x,$

We vervangen de waarde ervan in elke vergelijking om de waarde ervan te vinden

$y:$

$y=x+5 \ \xrightarrow{x \ = \ 2} \ y=2+5$

$y =7$

De coördinaten van het snijpunt tussen de twee lijnen zijn daarom:

$\bm{(2,7)}$

Oefening 2

Zoek het snijpunt of snijpunt tussen de volgende twee lijnen:

$r: \ y=-3x+1 \qquad \qquad s: \ 4x+2y+6=0$

zie oplossing

het recht

$s$

Het wordt uitgedrukt in de vorm van een impliciete (of algemene) vergelijking, dus we zullen het eerst doorgeven in de vorm van een expliciete vergelijking om de waarde van de helling te kennen:

$4x+2y+6=0$

$2y=-4x-6$

$y=\cfrac{-4x-6}{2}$

$y=-2x-3$

De twee lijnen hebben dus verschillende hellingen en daarom is er een snijpunt tussen beide.

Om dit punt te berekenen, is het noodzakelijk om het systeem van vergelijkingen op te lossen dat wordt gevormd door de vergelijking van elke lijn:

$\left. \begin{array}{l} y=-3x+1\\[2ex] y=-2x-3 \end{array} \right\}$

We lossen het stelsel vergelijkingen op met de egalisatiemethode:

$y= y$

$-3x+1=-2x-3$

We verwijderen de waarde van de variabele

$x:$

$-3x+2x=-3-1$

$-x=-4$

$x=4$

En als je eenmaal weet hoeveel het waard is

$x,$

We vervangen de waarde ervan in een van beide vergelijkingen om de waarde van te vinden

$y:$

$y=-3x+1 \ \xrightarrow{x \ = \ 4} \ y=-3\cdot 4+1$

$y =-12+1$

$y =-11$

De coördinaten van het snijpunt tussen de twee lijnen zijn daarom:

$\bm{(4,-11)}$

Oefening 3

Bepaal het snijpunt of snijpunt tussen de volgende twee lijnen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[1.7ex] y=-2-3t \end{cases} \qquad \qquad s: \ 4x+2y+8=0$

zie oplossing

Allereerst moeten we weten of dit twee parallelle lijnen zijn of niet. Om dit te doen, zullen we kijken of de richtingsvectoren van de twee lijnen proportioneel zijn.

het recht

$r$

wordt gedefinieerd in de vorm van parametervergelijkingen, dus de componenten van de richtingsvector zijn de coëfficiënten vóór de parameter

$t:$

$\vv{r} =(2,-3)$

En aan de andere kant de lijn

$s$

wordt beschreven in de vorm van een impliciete vergelijking, dus de richtingsvector is:

$\vv{s} =(-B,A)=(-2,4)$

Zodat de componenten van de twee richtingsvectoren niet evenredig met elkaar zijn, zijn de twee lijnen dus niet evenwijdig.

$\cfrac{2}{-2} \neq \cfrac{-3}{4} \ \longrightarrow \ r \ \cancel{\parallel} \ s$

En aangezien de twee lijnen niet evenwijdig zijn, impliceert dit dat er inderdaad een snijpunt tussen hen is. Om het te berekenen, moeten we het stelsel vergelijkingen oplossen dat wordt gevormd door de vergelijking van elke lijn:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[1.7ex] y=-2-3t \end{cases} \qquad \qquad s: \ 4x+2y+8=0$

In dit geval, zoals de lijn

$r$

de vorm heeft van parametervergelijkingen, is het noodzakelijk om de uitdrukking van elke parametervergelijking te vervangen door de vergelijking van de andere regel:

$4(1+2t)+2(-2-3t)+8=0$