Hoek tussen twee vlakken in de ruimte (formule)

Op deze pagina vindt u hoe u de hoek kunt berekenen die wordt gevormd door twee vlakken in de ruimte (formule). Daarnaast krijg je voorbeelden te zien en te oefenen met opgeloste oefeningen.

Hoekformule tussen twee vlakken

De hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de hoek gevormd door de normaalvectoren van die vlakken. Om de hoek tussen twee vlakken te vinden, wordt daarom de hoek berekend die wordt gevormd door hun normaalvectoren, aangezien ze equivalent zijn.

Dus, zodra we precies weten wat de hoek tussen twee vlakken is, gaan we kijken naar de formule voor het berekenen van de hoek tussen twee vlakken in de ruimte (in R3), die is afgeleid van de formule voor de hoek tussen twee vectoren :

Gegeven de algemene (of impliciete) vergelijking van twee verschillende vlakken:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

De normaalvector van elk vlak is:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

En de hoek gevormd door deze twee vlakken wordt bepaald door de hoek te berekenen die wordt gevormd door hun normaalvectoren met behulp van de volgende formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Om de hoek tussen twee vlakken te bepalen, moet je dus de berekening van het puntproduct van twee vectoren beheersen. Als u niet meer weet hoe het is gedaan, vindt u in de link de stappen om het puntproduct tussen twee vectoren op te lossen. Bovendien kunt u stap voor stap voorbeelden en oefeningen zien die zijn opgelost.

Aan de andere kant, wanneer de twee vlakken loodrecht of evenwijdig zijn, is het niet nodig om de formule toe te passen, omdat de hoek tussen de 2 vlakken direct kan worden bepaald:

De hoek tussen twee evenwijdige vlakken is 0°, omdat hun normaalvectoren dezelfde richting hebben.
De hoek tussen twee loodrechte vlakken is 90º, omdat hun normaalvectoren ook loodrecht (of orthogonaal) op elkaar staan en dus een rechte hoek vormen.

Voorbeeld van het berekenen van de hoek tussen twee vlakken

Hier is een concreet voorbeeld, zodat u kunt zien hoe u de hoek tussen twee verschillende vlakken kunt bepalen:

Bereken de hoek tussen de volgende twee vlakken:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

Het eerste wat we moeten doen is de normaalvector van elk vlak vinden. De coördinaten X, Y, Z van de vector loodrecht op een vlak vallen dus respectievelijk samen met de coëfficiënten A, B en C van de algemene (of impliciete) vergelijking:

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

En zodra we de normaalvector van elk vlak kennen, berekenen we de hoek die ze vormen met de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

We moeten daarom de grootte van elke normaalvector vinden:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Nu vervangen we de waarde van elke onbekende in de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

We berekenen de cosinus van de hoek door het puntproduct van de twee vectoren op te lossen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

En ten slotte bepalen we de hoek door de inverse van de cosinus uit te voeren met behulp van de rekenmachine:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Problemen met de hoek tussen twee vlakken opgelost

Oefening 1

Bereken de hoek tussen de volgende twee vlakken:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

zie oplossing

Het eerste wat we moeten doen is de normaalvector van elk vlak vinden. De coördinaten X, Y, Z van de vector loodrecht op een vlak zijn dus respectievelijk equivalent aan de coëfficiënten A, B en C van de algemene (of impliciete) vergelijking:

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Zodra we de normaalvector van elk vlak kennen, berekenen we de hoek die ze vormen met de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

We moeten daarom de grootte van elke normaalvector vinden:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

We vervangen de waarde van elke onbekende in de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

We berekenen de cosinus van de hoek:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

En ten slotte vinden we de hoek tussen de twee vlakken door de cosinus om te keren met de rekenmachine:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Oefening 2

Wat is de hoek tussen de volgende twee vlakken?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

zie oplossing

Het eerste wat we moeten doen is de normaalvector van elk vlak vinden. De X-, Y-, Z-coördinaten van de vector loodrecht op een vlak zijn dus respectievelijk gelijk aan de parameters A, B en C van de algemene (of impliciete) vergelijking:

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Zodra we de normaalvector van elk vlak kennen, berekenen we de hoek die ze vormen met de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

We moeten daarom de grootte van elke normaalvector vinden:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

We vervangen de waarde van elke variabele in de formule:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

We berekenen de cosinus van de hoek:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$