Op deze pagina vindt u alle mogelijke relatieve posities van twee vlakken (droge, evenwijdige of samenvallende vlakken). Ook ontdek je hoe de relatieve positie tussen twee vlakken wordt berekend en daarnaast kun je voorbeelden bekijken en oefenen met opgeloste oefeningen.
Wat zijn de relatieve posities van twee vlakken?
In de analytische meetkunde zijn er slechts drie mogelijke relatieve posities tussen twee vlakken: snijvlakken, evenwijdige vlakken en samenvallende vlakken.
- Snijdende vlakken : Twee vlakken snijden elkaar als ze elkaar maar op één lijn snijden.
- Parallelle vlakken : Twee vlakken zijn evenwijdig als ze elkaar op geen enkel punt snijden.
- Samenvallende vlakken : Twee vlakken vallen samen als ze allemaal punten gemeenschappelijk hebben.
snijdende vlakken
parallelle vlakken
samenvallende vlakken
Er zijn twee methoden om de relatieve positie tussen twee vlakken te vinden: één op basis van de coëfficiënten van de algemene vergelijkingen van de twee vlakken en de andere door de rangorde van twee matrices te berekenen. Hieronder vindt u een uitleg van elke procedure.
Hoe de relatieve positie van twee vlakken te bepalen aan de hand van coëfficiënten
Eén manier om te weten wat de relatieve positie tussen twee vlakken is, is door de coëfficiënten van hun algemene (of impliciete) vergelijkingen te gebruiken.
Beschouw dan de algemene (of impliciete) vergelijking van twee verschillende vlakken:
De relatieve positie tussen de twee vlakken in de driedimensionale ruimte (in R3) hangt af van de evenredigheid van hun coëfficiënten of parameters:
Daarom zullen de twee vlakken elkaar snijden wanneer een van de coëfficiënten A, B of C niet evenredig is met de andere. Aan de andere kant zullen de twee vlakken evenwijdig zijn als alleen de onafhankelijke termen niet proportioneel zijn. En ten slotte zullen de plannen samenvallen als alle coëfficiënten van de twee vergelijkingen proportioneel zijn.
Laten we bijvoorbeeld de relatieve positie van de volgende twee vlakken berekenen:
Om te weten welk type vliegtuig het is, moet je controleren welke coëfficiënten proportioneel zijn:
De coëfficiënten A, B en C zijn evenredig met elkaar, maar niet met de coëfficiënt D, dus de twee vlakken zijn evenwijdig .
Hoe de relatieve positie van twee vlakken te berekenen op basis van bereiken
Een andere manier om de relatieve positie van twee bepaalde vlakken te kennen bestaat uit het berekenen van het bereik van twee matrices gevormd door de coëfficiënten van genoemde vlakken.
Laten we dus de algemene (of impliciete) vergelijking zijn van twee verschillende vlakken:
We noemen A de matrix die is samengesteld uit de coëfficiënten A, B en C van de twee vergelijkingen:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f97413606a79781a34e0664a780b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En laat de matrix A’ de uitgebreide matrix zijn met alle coëfficiënten van de twee vergelijkingen:
![\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-534e5baa11d1331cda0fa48c167a322f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De relatieve positie van de twee vlakken kan bekend zijn op basis van de bereiken van de twee voorgaande matrices:
Dat de relatieve posities afhangen van de rangorde van deze twee matrices kan worden aangetoond uit de Rouche-Frobenius toerem (een stelling die wordt gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen). Op deze pagina gaan we de demonstratie echter niet doen omdat het niet nodig is om het te weten en het ook niet veel oplevert.
Om te zien hoe dit wordt gedaan, berekenen we de relatieve positie tussen de volgende twee vlakken:
Het eerste wat je moet doen is de matrix A en de uitgebreide matrix A’ construeren met de coëfficiënten van de vergelijkingen van de twee vlakken:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5cfb4d05d76542970c1f7db9ef1b31a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En nu moeten we de rangorde van elke matrix berekenen. We vinden eerst de omvang van de matrix A aan de hand van determinanten:
![\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad5c0df1a15c695be7c0c5c71304cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Matrix A bevat een 2×2-submatrix waarvan de determinant verschilt van nul, dus het is een matrix van rang 2.
Aan de andere kant is het ook noodzakelijk om de rangorde van de matrix A’ te berekenen. En de rang van de uitgebreide matrix A’ zal altijd minimaal dezelfde zijn als die van matrix A, daarom is in dit specifieke geval de rang van matrix A’ ook gelijk aan 2.
Zodat de omvang van de twee matrices gelijkwaardig is en waarde 2 heeft, snijden de twee vlakken elkaar .
Opgeloste problemen van de relatieve positie van twee vlakken
Oefening 1
Bestudeer de relatieve positie van de volgende twee vlakken:
Om de relatieve positie tussen de twee vlakken te berekenen, zullen we kijken of de coëfficiënten van de vergelijkingen van de twee vlakken proportioneel zijn:
Alle coëfficiënten van de impliciete vergelijkingen van de twee plannen zijn evenredig met elkaar, het zijn daarom twee samenvallende plannen .
Oefening 2
Bepaal de relatieve positie van de volgende twee vlakken:
Om de relatieve positie tussen de twee vlakken te bepalen, zullen we de evenredigheid van de coëfficiënten van hun vergelijkingen analyseren:
De coëfficiënten A en C van de impliciete vergelijkingen van de twee vlakken zijn evenredig met elkaar, maar niet met de coëfficiënt B. Het zijn dus twee snijvlakken .
Oefening 3
Zoek de relatieve positie van de volgende twee vlakken:
Om de relatieve positie tussen de twee vlakken te bepalen, is het noodzakelijk om te controleren of de coëfficiënten van de vergelijkingen van de twee vlakken proportioneel zijn:
De eerste drie parameters (A, B en C) van de vergelijkingen van de twee vlakken zijn evenredig met elkaar, maar niet met parameter D, daarom zijn de twee vlakken evenwijdig .
Oefening 4
Bereken parameterwaarde
zodat de volgende twee vlakken evenwijdig zijn:
Om de twee vlakken evenwijdig te laten zijn, moeten de coëfficiënten A, B en C in hun vergelijkingen proportioneel zijn. Met andere woorden, de volgende gelijkheid moet worden geverifieerd:
In dit specifieke geval zijn de coëfficiënten A en B van het eerste plan de helft van die van het tweede plan:
Daarom moeten we de bovenstaande vergelijking oplossen. En om dit te doen kruisen we de twee breuken:
Dus de waarde van de parameter
moet gelijk zijn aan 10.