Vectorvergelijking van het vlak

Op deze pagina vindt u de vlakvectorvergelijking (formule) en rekenvoorbeelden. Daarnaast kun je oefenen met oefeningen en opgeloste problemen van de vectorvergelijking van het vlak.

Wat is de vectorvergelijking van een vlak?

In de analytische meetkunde is de vectorvergelijking van een vlak een vergelijking waarmee elk vlak wiskundig kan worden uitgedrukt. Om de vectorvergelijking van een vlak te vinden, hebben we alleen een punt en twee lineair onafhankelijke vectoren nodig die bij dat vlak horen.

Formule van de vectorvergelijking van het vlak

Beschouw een punt en twee richtingsvectoren van een vlak:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

De formule voor de vectorvergelijking van een vlak is:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Goud

$\lambda$

$\mu$

zijn twee scalairen, dat wil zeggen twee reële getallen.

Dit betekent dus dat elk punt in een vlak kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van 1 punt en 2 vectoren.

vectorvergelijking van het xy-vlak online

Bovendien is een noodzakelijke voorwaarde voor het overeenkomen van de voorgaande vergelijking met een vlak dat de twee vectoren van het vlak lineaire onafhankelijkheid hebben, dat wil zeggen dat de twee vectoren niet evenwijdig aan elkaar kunnen zijn. ander.

Houd er aan de andere kant rekening mee dat er naast de vectorvergelijking ook andere manieren zijn om een vlak analytisch uit te drukken, zoals de parametrische vergelijking van het vlak en de impliciete vergelijking van het vlak . In de links kunt u zien wat elk type vergelijking is.

Voorbeeld van hoe u de vectorvergelijking van een vlak kunt vinden

Nadat we de uitleg van het concept van de vectorvergelijking van het vlak hebben gezien, gaan we kijken hoe dit wordt berekend aan de hand van een voorbeeld:

Zoek de vectorvergelijking van het vlak dat door het punt gaat
$P(2,0,4)$

en bevat de vectoren

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

En

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Om de vectorvergelijking van het vlak te bepalen, past u eenvoudigweg de formule toe:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

En nu vervangen we het punt en elke vector in de vergelijking:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Zoals je in het voorbeeld kunt zien, is het vinden van de vectorvergelijking van een vlak relatief eenvoudig. De problemen kunnen echter een beetje ingewikkeld worden, dus hieronder vindt u verschillende opgeloste oefeningen met verschillende moeilijkheidsgraden, zodat u kunt oefenen.

Vliegtuigvectorvergelijking opgeloste problemen

Oefening 1

Bepaal de vectorvergelijking van het vlak dat de vector bevat

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

en doorloopt de volgende twee punten:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

zie oplossing

Om de vergelijking van een vlak te kennen, heb je een punt en twee vectoren nodig en in dit geval hebben we maar één vector, we moeten daarom een andere richtende vector van het vlak vinden. Om dit te doen, kunnen we de vector berekenen die de twee punten van het vlak definieert:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Nu we al twee richtingsvectoren van het vlak en een punt kennen, gebruiken we daarom de formule voor de vectorvergelijking van het vlak:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

En we vervangen de twee vectoren en een van de twee punten op het vlak in de vergelijking:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Oefening 2

Zoek de vectorvergelijking van het vlak dat de volgende drie punten bevat:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

zie oplossing

Om de vectorvergelijking van het vlak te vinden, moeten we twee lineair onafhankelijke vectoren vinden die in het vlak binden. En hiervoor kunnen we twee vectoren berekenen die worden gedefinieerd door de 3 punten:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

De coördinaten van de twee gevonden vectoren zijn niet proportioneel, dus lineair onafhankelijk van elkaar.

Nu we al twee richtingsvectoren en een punt van het vlak kennen, passen we daarom de formule voor de vectorvergelijking van het vlak toe:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

En we vervangen de twee vectoren en een van de drie punten van het vlak in de vergelijking:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Oefening 3

Bereken 4 punten in de ruimte die behoren tot het vlak dat wordt gedefinieerd door de volgende vectorvergelijking:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

zie oplossing

Om een punt op een vlak te berekenen, geeft u eenvoudigweg een willekeurige waarde aan de parameters

$\lambda$

$\mu .$

Nog:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Oefening 4

Zoek de vectorvergelijking van het vlak dat de lijn bevat

$r$

en is evenwijdig aan de rechterkant

$s.$

zijnde de lijnen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$

zie oplossing

Om de vectorvergelijking van het vlak te vinden, moeten we twee richtingsvectoren en een punt van dat vlak kennen. De instructie vertelt ons dat deze de regel bevat

$r$

Daarom kunnen we de richtingsvector en een punt op deze lijn nemen om het vlak te definiëren. Bovendien vertelt de verklaring ons dat het vlak evenwijdig is aan de lijn

$s,$