Vectorvergelijking van de lijn

Op deze pagina vindt u hoe u de vectorvergelijking van de lijn berekent. Daarnaast krijg je diverse voorbeelden te zien en te oefenen met opgeloste oefeningen. En je zult ook ontdekken hoe de punten van een lijn worden verkregen uit de vectorvergelijking.

Wat is de vectorvergelijking van de lijn?

Bedenk dat de wiskundige definitie van een lijn een reeks opeenvolgende punten is die in dezelfde richting worden weergegeven, zonder krommen of hoeken.

De lijnvectorvergelijking is dus een manier om elke lijn wiskundig uit te drukken. En hiervoor is alleen een punt nodig dat bij de lijn hoort en bij de richtingsvector van de lijn.

Hoe wordt de vectorvergelijking van de lijn berekend?

$\vv{\text{v}}$

is de richtingsvector van de lijn en

$P$

een punt dat hoort bij rechts:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

De formule voor de vectorvergelijking van de lijn is:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Goud:

$x$

En

$y$

zijn de cartesische coördinaten van elk punt op de lijn.
$P_1$

En

$P_2$

zijn de coördinaten van een bekend punt dat deel uitmaakt van de lijn.
$\text{v}_1$

En

$\text{v}_2$

zijn de componenten van de richtingsvector van de lijn.
$t$

is een scalair (een reëel getal) waarvan de waarde afhangt van elk punt op de lijn.

Het is de vectorvergelijking van de lijn in het vlak, dat wil zeggen bij het werken met punten en vectoren van 2 coördinaten (in R2). Als we echter berekeningen in de ruimte zouden uitvoeren (in R3), zouden we een extra component aan de vergelijking van de lijn moeten toevoegen:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

Houd er aan de andere kant rekening mee dat er naast de vectorvergelijking ook andere manieren zijn om een lijn analytisch uit te drukken: parametervergelijkingen, continue vergelijkingen, impliciete (of algemene) vergelijkingen, de expliciete vergelijking en de punt-hellingsvergelijking van een lijn. . Via deze link kunt u alle soorten vergelijkingen in de regel bekijken.

Voorbeeld van hoe u de vectorvergelijking van de lijn kunt vinden

Laten we eens kijken hoe de vectorvergelijking van de lijn wordt bepaald aan de hand van een voorbeeld:

Schrijf de vectorvergelijking van de lijn die door het punt gaat
$P$

en heeft

$\vv{\text{v}}$

als leidende vector:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

Om de vectorvergelijking van de lijn te vinden, past u eenvoudig de formule toe:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

Punten verkrijgen uit de vectorvergelijking van de lijn

Zodra we de vectorvergelijking van de lijn hebben gevonden, is het heel eenvoudig om de punten te berekenen waar de lijn doorheen gaat. Om een punt op een lijn te bepalen , geeft u eenvoudigweg een waarde aan de parameter

$\bm{t}$

van de vectorvergelijking van de lijn.

Gegeven bijvoorbeeld de volgende vectorvergelijking van de lijn:

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

Door te vervangen wordt een punt gescoord

$t$

met een willekeurig nummer, bijvoorbeeld

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

En we kunnen een ander punt op de lijn berekenen die het onbekende geeft

$t$

een ander nummer bijvoorbeeld

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

Daarom kunnen we oneindig veel punten op de lijn krijgen, omdat de variabele

$t$

kan oneindige waarden aannemen.

Opgeloste problemen van de vectorvergelijking van de lijn

Oefening 1

Zoek de vectorvergelijking van de lijn die door het punt gaat

$P$

en waarvan de richtingsvector is

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

zie oplossing

Om de vectorvergelijking van de lijn te berekenen, past u eenvoudigweg de formule toe:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Oefening 2

Bereken drie punten die op de lijn van het vorige probleem liggen.

zie oplossing

Om punten te verkrijgen uit een lijn die wordt beschreven met de vectorvergelijking, moeten waarden aan de parameter worden gegeven

$t.$

De vectorvergelijking berekend in het vorige probleem is:

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Om een punt te berekenen, vervangen we het onbekende

$t$

bijvoorbeeld door

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

Om een tweede punt te vinden geven we

$t$

bijvoorbeeld de waarde van

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

En ten slotte verkrijgen we het derde punt door toe te wijzen

$t$

de waarde van

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

Het kan zijn dat je verschillende punten hebt gekregen, omdat het afhangt van de waarden die je aan de parameter geeft

$t.$

Maar als je dezelfde procedure volgde, is alles in orde.

Oefening 3

Of twee punten:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

Zoek de vectorvergelijking van de lijn die door deze twee punten gaat.

zie oplossing

In dit geval hebben we niet de richtingsvector van de lijn, we moeten eerst de richtingsvector vinden en vervolgens de vergelijking van de lijn.

Om de richtingsvector van de lijn te vinden, moeten we dus de vector berekenen die wordt gedefinieerd door de twee gegeven punten:

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

En zodra we de richtingsvector van de lijn al kennen, kunnen we de vectorvergelijking bepalen op basis van een van de gegeven punten en de formule:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

De vergelijking die wordt gevonden door het andere gegeven punt in de formule te plaatsen, is ook geldig:

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

Wat is de vectorvergelijking van de lijn?

Hoe wordt de vectorvergelijking van de lijn berekend?

Voorbeeld van hoe u de vectorvergelijking van de lijn kunt vinden

Punten verkrijgen uit de vectorvergelijking van de lijn

Opgeloste problemen van de vectorvergelijking van de lijn

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Laat een reactie achter Reactie annuleren