Parallelle vectoren

Op deze pagina vind je alles over parallelle vectoren: wat ze betekenen, wanneer twee vectoren evenwijdig zijn, hoe je een vector vindt die evenwijdig is aan een andere vector, de eigenschappen van dit type vector,… Daarnaast kun je er verschillende zien voorbeelden en opgeloste parallelle vectoroefeningen.

Wat zijn parallelle vectoren?

Parallelle vectoren zijn vectoren die dezelfde richting hebben. Met andere woorden: twee vectoren zijn evenwijdig als ze zich in twee evenwijdige lijnen bevinden. Daarom maken twee parallelle vectoren een hoek tussen hen van 0 of 180 graden.

De volgende drie vectoren zijn bijvoorbeeld parallel:

Bovendien hangt het parallellisme van twee vectoren alleen af van hun richting. Dat wil zeggen dat twee vectoren evenwijdig zijn als ze in richting samenvallen, ongeacht of ze dezelfde of de tegenovergestelde richting hebben. En hetzelfde gebeurt met modulus (of grootte): twee vectoren kunnen verschillende moduli hebben en parallel zijn.

Aan de andere kant, wanneer twee vectoren dezelfde maar tegengestelde richting hebben, worden ze antiparallelle vectoren genoemd.

Hoe weet je of twee vectoren evenwijdig zijn?

Twee vectoren zijn evenwijdig als ze proportioneel zijn. Om te weten of twee vectoren parallel zijn, moeten we daarom bepalen of hun respectieve componenten proportioneel zijn of niet.

We zullen zien hoe we kunnen weten of twee vectoren parallel zijn door middel van twee verschillende opgeloste oefeningen, één met vectoren met 2 coördinaten en de andere met vectoren met 3 coördinaten.

Voorbeeld van vectoren evenwijdig aan het vlak (in R2)

Bepaal of de volgende twee vectoren evenwijdig zijn:

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

Om te weten of het werkelijk parallelle vectoren zijn, moeten we kijken of hun cartesiaanse coördinaten proportioneel zijn:

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

Het verdelen van de X-componenten en de Y-componenten daartussen geeft hetzelfde resultaat (-2), dus de twee vectoren zijn proportioneel en dus ook parallel .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

Merk op dat in de wiskunde, wanneer twee geometrische elementen evenwijdig zijn, dit wordt aangegeven door twee verticale balken (II).

Voorbeeld van parallelle vectoren in de ruimte (in R3)

Zoek of aan de parallelliteitsvoorwaarde is voldaan in de volgende twee vectoren:

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

Om te bepalen of het inderdaad parallelle vectoren zijn, moeten we controleren of de coördinaten van de vectoren proportioneel zijn:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

De X-componenten en Y-componenten van de vectoren zijn evenredig met elkaar, omdat we door ze te delen hetzelfde resultaat verkrijgen, maar ze zijn daarentegen niet evenredig met de Z-component. Daarom zijn de vectoren niet evenredig met alle vectoren en daarom niet parallel .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

Hoe bereken je een parallelle vector?

Om een vector parallel aan een andere vector te vinden, vermenigvuldigt u deze eenvoudigweg met een scalair (een reëel getal) anders dan nul (0). Er zijn dus een oneindig aantal vectoren parallel aan elkaar, aangezien de vector met een oneindig aantal getallen kan worden vermenigvuldigd.

We berekenen bijvoorbeeld verschillende parallelle vectoren van de volgende vector:

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

Het resultaat van alle volgende producten zijn vectoren parallel aan de vorige vector:

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

Eigenschappen van parallelle vectoren

Parallelle vectoren hebben de volgende kenmerken:

Reflexieve eigenschap : elke vector is evenwijdig aan zichzelf.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

Symmetrische eigenschap : als een vector evenwijdig is aan een andere, is deze vector ook evenwijdig aan de eerste. Deze eigenschap wordt ook bezeten door loodrechte vectoren .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

Transitieve eigenschap : als een vector evenwijdig is aan een andere vector, en deze tweede vector is evenwijdig aan een derde vector, dan is de eerste vector ook evenwijdig aan de derde vector.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

Het puntproduct van twee parallelle vectoren is gelijk aan het product van hun moduli. U kunt controleren waarom dit specifieke probleem gebeurt in de puntproducteigenschappen .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

Twee parallelle vectoren zijn altijd lineair afhankelijk. Dit concept is heel belangrijk, dus als je het niet weet, kun je verwijzen naar twee lineair afhankelijke vectoren .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$