Vector toevoegen

Op deze pagina wordt uitgelegd hoe u twee vectoren in het vlak kunt toevoegen, grafisch en numeriek. Er zijn 3 manieren om ze grafisch toe te voegen: de parallellogram-, kop-aan-staart- en polygoonmethode. Daarnaast vind je ook opgeloste oefeningen over vectoroptelling en alle eigenschappen van vectoroptelling.

Hoe kan ik twee vectoren grafisch optellen?

In principe zijn er twee manieren om vectoren toe te voegen vanuit hun grafiekweergave. Met beide vormen wordt hetzelfde resultaat verkregen, maar sommigen geven er de voorkeur aan om ze op te tellen met behulp van de kop-staartmethode en anderen met de parallellogrammethode . We zullen u daarom de twee methoden uitleggen, zodat u degene kiest die u verkiest. 😉

Aan de andere kant worden deze twee methoden gebruikt om twee vectoren op te tellen, maar wat gebeurt er als we meer dan twee vectoren willen optellen? Het is daarom noodzakelijk om de polygoonmethode te gebruiken, die bestaat uit het achtereenvolgens gebruiken van de parallellogrammethode. De uitleg ervan vindt u ook na de kop-staart- en parallellogrammethoden.

Parallellogrammethode of regel

De parallellogramregel of parallellogrammethode (of parallellogramwet) is een grafische procedure waarmee u op een zeer eenvoudige manier de som van twee vectoren kunt vinden. De stappen die u moet volgen om dit proces toe te passen, zijn als volgt:

1. Eerst tekenen we de vectoren en plaatsen ze op hetzelfde toepassingspunt, dat wil zeggen dat we de oorsprong van beide vectoren op hetzelfde punt plaatsen.
2. Vervolgens tekenen we aan het einde van de ene vector een lijn evenwijdig aan de andere vector. En we herhalen de stap met de andere vector. We krijgen daarom de tekening van een parallellogram (vandaar de naam van de regel).
3. Ten slotte zal het resultaat van de som de vector zijn die loopt van de gemeenschappelijke oorsprong naar het punt waar de twee parallelle lijnen elkaar snijden.

Kijk naar het volgende algemene voorbeeld waarin twee vectoren worden opgeteld met de parallellogramregel:

Het resultaat van de som van de vectoren is de diagonaal van het parallellogram dat ze vormen met hun parallellen.

kop en staart methode

De kop-staartmethode , ook wel de driehoeksmethode genoemd, is een andere procedure waarmee twee vectoren grafisch kunnen worden opgeteld. In dit geval zijn de te volgen stappen:

1. Verplaats een toegevoegde vector en plaats deze zo dat de oorsprong precies aan het einde van de andere toegevoegde vector ligt.
2. Het resultaat van vectoroptelling is het segment dat loopt van het begin van de eerste toegevoegde vector tot het einde van de andere vector. Als je goed kijkt, wordt een driehoek aangevuld met de twee vectoren toegevoegd en de vector toegevoegd.

Hier is een voorbeeld van vectoroptelling met behulp van de kop-staartmethode:

veelhoek methode

Als we eenmaal hebben gezien hoe we de som van twee vectoren grafisch kunnen oplossen, zullen we zien hoe dat moet als we meer dan twee vectoren hebben.

Als u drie of meer vectoren wilt optellen, is er een techniek om de berekening van de bewerking te versnellen. Deze techniek wordt de polygoonmethode genoemd en bestaat uit het achtereenvolgens toepassen van de kop-staartmethode:

1. We moeten eerst elke vector achter elkaar plaatsen, zodat de oorsprong van de ene vector samenvalt met het einde van een andere vector. De volgorde waarin we ze plaatsen is niet van belang.
2. En het resultaat van de som is de vector die wordt verkregen door het begin van de eerste vector te verbinden met het einde van de laatste vector.

Kijk naar het volgende voorbeeld waarbij 4 vectoren worden toegevoegd:

Bereken de som van twee vectoren numeriek

Zodra we weten hoe we vectoren geometrisch moeten optellen, zullen we zien hoe we een vectorsom numeriek of algebraïsch kunnen berekenen.

Bijvoorbeeld de som tussen vectoren

En

Oosten:

Aan de andere kant moeten we in gedachten houden dat de vectoroptelling van twee vectoren niet hetzelfde is als de optelling van de modules van de vectoren; in feite zijn de resultaten totaal verschillend. U kunt de verschillen tussen de twee bewerkingen zien in de eigenschappen van de vectorgrootte (ook wel vectorgrootte genoemd).

Voeg vectoreigenschappen toe

Vectortoevoeging heeft de volgende kenmerken:

• Associatieve eigenschap : het plaatsen van haakjes tussen de som van verschillende vectoren verandert het resultaat van de bewerking niet.

• Commutatieve eigenschap – In tegenstelling tot het aftrekken van vectoren is het resultaat van de optelling tussen twee vectoren onafhankelijk van de volgorde waarin ze worden opgeteld.

• Eigenschap van het tegenovergestelde element : de som van een vector plus zijn tegengestelde, dat wil zeggen zijn negatie, is gelijk aan 0.

• Eigenschap van het neutrale element : uiteraard is elke vector plus de nul- of nulvector equivalent aan de vector zelf:

Problemen met vectoroptelling opgelost

Oefening 1

Bereken de som van vectoren grafisch

En

Om de twee vectoren op te tellen, gebruiken we de kop-staartregel. We zullen daarom de oorsprong van de vector plaatsen

aan het einde van de vector

, en de som zal de vector zijn die loopt van de oorsprong van de coördinaten tot het einde van

Daarom is het resultaat van vectoroptelling:

Oefening 2

Los de som van vectoren grafisch op

En

Om de twee vectoren op te tellen, gebruiken we de kop-staartregel. We zullen daarom de oorsprong van de vector lokaliseren

aan het einde van de vector

, en de somvector zal degene zijn die van de oorsprong van de assen naar het einde gaat

Daarom is het resultaat van vectoroptelling:

Oefening 3

Bepaal grafisch de vector die het resultaat is van de optelling van alle vectoren die in de grafiek worden weergegeven:

Als u meer dan twee vectoren uit de grafiek wilt optellen, moet u de polygoonregel gebruiken. We moeten de vectoren daarom zo verplaatsen dat ze continu blijven, dat wil zeggen de een na de ander (de volgorde is niet relevant). De som van alle vectoren zal dus de vector zijn die loopt van de oorsprong van de eerste vector tot het einde van de laatste vector.

Het resultaat van de som van de 4 vectoren is dus de vector die in rood wordt weergegeven:

Oefening 4

Zoek numeriek de som van de volgende vectoren:

Om twee vectoren numeriek op te tellen, moet u hun respectievelijke coördinaten optellen:

Oefening 5

Bereken analytisch de som van de volgende vectoren:

Om vectoren numeriek toe te voegen, moet u hun respectievelijke coördinaten toevoegen: