Wat is een wiskundig interval?

Wiskundige intervallen zijn een reeks getallen die tussen twee specifieke waarden vallen.

Deze waarden kunnen al dan niet worden opgenomen in het interval, dat wordt aangegeven door speciale symbolen. Intervallen worden in de wiskunde en statistiek gebruikt om een reeks waarden te beschrijven.

In eenvoudige bewoordingen: om een wiskundig interval beter te begrijpen, zijn dit de reële getallen tussen punt A en punt B. Het is de moeite waard te vermelden dat dit ook wel een deelverzameling van de reële lijn wordt genoemd.

Als we bijvoorbeeld het bereik van reële getallen van 1 tot en met 5 willen weergeven, schrijven we dit als [1,5], waarbij de haakjes aangeven dat de limieten binnen het bereik vallen.

Over het algemeen wordt het wiskundige interval weergegeven door [a,b], waarbij “a” de minimumwaarde is en “b” de maximumwaarde.

Afhankelijk van de context kunnen echter ook andere notaties worden gebruikt, zoals (a,b) om aan te geven dat de grenzen niet in het interval zijn opgenomen, of (a, +∞) of (-∞,b) om oneindig weer te geven. intervallen in de ene of de andere richting.

Hoe worden wiskundige intervallen geclassificeerd?

Wiskundige intervallen kunnen op basis van hun metrische lengte in twee typen worden ingedeeld:

• Eindige intervallen : zijn intervallen met een eindig aantal elementen en een gedefinieerd begin en einde. Het interval [2, 5] is bijvoorbeeld een eindig interval dat de getallen 2, 3, 4 en 5 omvat.
• Oneindige intervallen : zijn intervallen met een oneindig aantal elementen en een begin of einde dat niet is gedefinieerd. Het interval (-∞, 5) is bijvoorbeeld een oneindig interval dat alle reële getallen kleiner dan 5 omvat, van negatief oneindig tot 5.

In de wiskunde en statistiek is het belangrijk om op te merken of een interval eindig of oneindig is, omdat eindige en oneindige intervallen verschillende eigenschappen hebben en op verschillende manieren worden gebruikt.

Eindige intervallen kunnen bijvoorbeeld worden gebruikt om een discreet bereik van waarden te beschrijven, terwijl oneindige intervallen worden gebruikt om een continu bereik van waarden te beschrijven.

Wat zijn de soorten wiskundige intervallen voor het oplossen van ongelijkheden?

Naast de classificatie moeten we er rekening mee houden dat er drie soorten intervallen zijn op basis van hun topologische kenmerken. We beschrijven ze hieronder.

1. Openinterval

Het wordt tussen haakjes weergegeven en omvat niet de ledematen.

Het interval (3, 5) omvat bijvoorbeeld alle reële getallen tussen 3 en 5, maar niet 3 of 5. Het kan grafisch worden weergegeven als een lijn met twee punten aan de uiteinden en twee naar binnen gerichte pijlen die aangeven dat de uiteinden gelijk zijn. niet inbegrepen.

Tip : Wanneer u met open intervallen werkt, is het belangrijk op te merken dat de eindpunten niet zijn opgenomen en dat er reële getallen zijn die binnen het interval liggen.

2. Gesloten interval

Het wordt weergegeven door haakjes en omvat de uiteinden.

Het interval [3, 5] omvat bijvoorbeeld 3 en 5. Het kan grafisch worden weergegeven als een lijn met twee punten op de eindpunten en twee naar buiten gerichte pijlen die aangeven dat de eindpunten inbegrepen zijn.

Tip : Wanneer u met gesloten intervallen werkt, is het belangrijk om te weten dat de eindpunten inbegrepen zijn en dat elk getal tussen de eindpunten ook binnen het interval valt.

3. Halfopen interval

Het wordt weergegeven door een haakje en een haakje en bevat slechts één laatste punt.

Het interval (3, 5] omvat bijvoorbeeld alle reële getallen tussen 3 en 5, inclusief 5, maar niet 3.

Het kan grafisch worden weergegeven als een lijn met twee punten aan het ene uiteinde, een pijl naar binnen aan het ene uiteinde en een pijl naar buiten aan het andere uiteinde, wat aangeeft dat het ene uiteinde wel is inbegrepen en het andere niet.

Merk op dat deze intervallen halfopen aan de linkerkant of halfopen aan de rechterkant worden weergegeven.

Tip : Wanneer u met halfopen intervallen werkt, is het belangrijk op te merken dat er slechts één eindpunt is opgenomen en dat er reële getallen zijn die binnen het interval liggen. Laten we voor elk geval een kleine verklarende tabel bekijken.

Laten we nu eens kijken naar de volgende intervaltabel en de classificatie ervan om de informatie verder te vereenvoudigen:

Wat is het bereik van een variabele?

Het bereik van een variabele is een reeks waarden die een bepaalde variabele of statistische steekproef kunnen aannemen. Dat wil zeggen, het is een bereik van waarden waarbinnen een variabele kan variëren.

Als bijvoorbeeld een variabele ‘x’ is gedefinieerd in het bereik [0, 10], betekent dit dat ‘x’ elke reële waarde van 0 tot 10 kan aannemen, inclusief 0 en 10.

Het interval van een variabele kan wiskundig worden weergegeven met behulp van de notatie uit het vorige antwoord, dat wil zeggen met vierkante haken als de limieten in het interval zijn opgenomen, of met haakjes als de limieten niet zijn opgenomen.

Het concept van het interval van een variabele is belangrijk in veel gebieden van de wiskunde, zoals onder meer de functietheorie, de getaltheorie, de waarschijnlijkheidstheorie en de optimalisatietheorie.

In deze gebieden wordt het bereik van een variabele gebruikt om beperkingen op te leggen aan de analyse en om nauwkeurige uitspraken te doen over het gedrag van een variabele in een bepaalde context. Hier zijn enkele voorbeelden:

• Unie : De vereniging van twee intervallen wordt gedefinieerd als het grootste interval dat beide oorspronkelijke intervallen omvat. De vereniging van de intervallen [3, 6] en [4, 8] is bijvoorbeeld [3, 8].
• Snijpunt : Het snijpunt van twee intervallen wordt gedefinieerd als het kleinste interval in de twee oorspronkelijke intervallen. Het snijpunt van de intervallen [3, 6] en [4, 8] is bijvoorbeeld [4, 6].
• Complement : Het complement van een interval wordt gedefinieerd als de verzameling reële getallen die niet in het oorspronkelijke interval vallen. Het complement van het interval [3, 6] is bijvoorbeeld (-∞, 3) ∪ (6, +∞).
• Optelling : De optelling van twee intervallen wordt gedefinieerd als het interval van de resultaten die we krijgen door een willekeurig paar getallen in de oorspronkelijke intervallen op te tellen. De som van de intervallen [3, 6] en [4, 8] is bijvoorbeeld [7, 14].
• Vermenigvuldiging : Vermenigvuldiging van twee intervallen wordt gedefinieerd als het interval van de resultaten die we krijgen door een willekeurig paar getallen in de oorspronkelijke intervallen te vermenigvuldigen. Het product van de intervallen [3, 6] en [4, 8] is bijvoorbeeld [12, 48].

Dit zijn slechts enkele voorbeelden van bewerkingen die met wiskundige intervallen kunnen worden uitgevoerd.

Het is belangrijk op te merken dat het, afhankelijk van de context, nodig kan zijn om geavanceerdere technieken te gebruiken om het resultaat van sommige van deze bewerkingen te berekenen.

Voorbeelden van bewerkingen met wiskundige intervallen

Hier zijn enkele uitgewerkte voorbeelden van bewerkingen die met wiskundige intervallen kunnen worden uitgevoerd. Onthoud dat als u een symbool niet begrijpt, u ons artikel over wiskundige symbolen kunt raadplegen. Hier vindt u zeker uitleg over het gebruik van dit symbool.

1. Unie : Stel dat we de intervallen [1, 3] en [2, 4] hebben. De vereniging van deze intervallen is [1, 4], aangezien dit interval alle getallen omvat die zich in een van de twee oorspronkelijke intervallen bevinden:

[1, 3] U [2, 4] = [1, 4]

2. Snijpunt : Stel dat we de intervallen [1, 3] en [2, 4] hebben. Het snijpunt van deze intervallen is [2, 3], aangezien dit interval alleen getallen bevat die in de oorspronkelijke twee intervallen binden:

[1, 3] ∩ [2, 4] = [2, 3]

3. Optelling : Stel dat we de intervallen [1, 3] en [2, 4] hebben. De optelling van deze intervallen is [3, 7], aangezien dit interval alle resultaten omvat die zijn verkregen door een willekeurig paar getallen in de oorspronkelijke intervallen op te tellen:

[1, 3] + [2, 4] = [3, 7]

4. Vermenigvuldiging : Stel dat we de intervallen [-2, -1] en [2, 3] hebben. De vermenigvuldiging van deze intervallen is [-6, -2], aangezien dit interval alle resultaten omvat die zijn verkregen door een willekeurig paar getallen in de oorspronkelijke intervallen te vermenigvuldigen:

[-2, -1] · [2, 3] = [-6, -2]

Tips om wiskundige intervallen op een gemakkelijke manier te leren

In werkelijkheid lijkt het misschien ingewikkeld om over wiskundige intervallen te praten. Het is echter veel eenvoudiger als de volgende tips in de praktijk worden gebracht:

1. Begrijp de basisprincipes – Voordat u met wiskundige intervallen gaat werken, is het belangrijk dat u de basisprincipes begrijpt, zoals reële getallen , ongelijkheden, enz.

2. Oefen eenvoudige oefeningen : Zodra je de basis begrijpt, begin je met het oefenen van eenvoudige oefeningen waarbij wiskundige intervallen betrokken zijn. Deze oefeningen zullen u helpen beter te begrijpen hoe intervallen werken en hoe bewerkingen daarop worden uitgevoerd. Hier zijn enkele voorbeelden:

• Bepaal het bereik van getallen dat aan een ongelijkheid voldoet : zoek bijvoorbeeld het bereik van getallen x dat voldoet aan de ongelijkheid x > 2.
• Oplossing : Het interval van getallen x die voldoen aan de ongelijkheid x > 2 is (2, +∞).
• Bepaal of een getal binnen een bepaald bereik ligt : Bepaal bijvoorbeeld of het getal 5 binnen het bereik [2, 6] valt.
• Oplossing : Ja, het getal 5 bevindt zich in het interval [2, 6].
• Bewerkingen uitvoeren met intervallen : zoek bijvoorbeeld, gegeven de intervallen A = [2, 4] en B = [3, 5], het interval van de som A + B.
• Oplossing : Het interval van de som A + B is [5, 9].

3. Gebruik grafieken en diagrammen : Grafieken en diagrammen kunnen zeer nuttig zijn bij het visualiseren van wiskundige intervallen en bij het beter begrijpen hoe ze werken. Overweeg ze te gebruiken om voorbeelden te bekijken en oefeningen op te lossen.