De Eratosthenes Sieve-methode is een wiskundig algoritme dat wordt gebruikt om alle priemgetallen kleiner dan een bepaald getal te vinden. Dit systeem werd ruim 2000 jaar geleden ontwikkeld door de Griekse wiskundige Eratosthenes.
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts twee delers heeft: 1 en zichzelf. Het getal 2 is bijvoorbeeld een priemgetal, omdat het alleen deelbaar is door 1 en 2. Het getal 4 daarentegen is geen priemgetal, omdat het deelbaar is door 1, 2 en 4.
Over het algemeen is de Eratosthenes Sieve-methode een efficiënte manier om alle priemgetallen kleiner dan een bepaald getal te vinden. Hiervoor wordt een lijst met getallen gebruikt en worden alle veelvouden van de gevonden priemgetallen doorgestreept. Aan het einde van het proces zijn de cijfers die niet zijn doorgestreept de priemgetallen.
Hoe werkt de Eratosthenes-zeef?
De Eratosthenes-zeef is een krachtig concept waarmee relatief snel en eenvoudig veel priemgetallen kunnen worden gevonden. Het werkt volgens een eenvoudig principe: elk veelvoud van een priemgetal kan geen priemgetal zijn. Omdat 3 bijvoorbeeld een priemgetal is, kunnen 6, 9, 12, 15 en alle andere veelvouden van 3 geen priemgetallen zijn.
Wanneer u priemgetallen tussen twee gegeven gehele getallen probeert te identificeren of naar nieuwe priemgetallen zoekt, kunnen alle veelvouden van priemgetallen worden bijgewerkt voordat de zoekopdracht zelfs maar begint.
De Eratosthenes-zeef werkt als een filter en verwijdert veelvouden van alle voorgaande priemgetallen uit de lijst met getallen, zodat u geen tijd verspilt met het testen ervan.
Om deze methode beter te begrijpen, is het noodzakelijk om een praktijkvoorbeeld te gebruiken. Laten we hieronder kijken hoe we alle priemgetallen kleiner dan 20 als volgt kunnen vinden:
- Schrijf een lijst met getallen van 2 tot en met 20: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
- Verwijder alle veelvouden van 2: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
- Elimineer alle veelvouden van 3: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Negeer alle veelvouden van 5: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Streep alle veelvouden van 7 door: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Niet-gekruiste getallen zijn priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Praktische voorbeelden voor het vinden van priemgetallen met behulp van de zeef van Eratosthenes
Vergeleken met andere methoden om priemgetallen te vinden, is de Eratosthenes-zeef snel en gemakkelijk te gebruiken . Vooral als er geen computers beschikbaar zijn. Voor het proces zijn geen delingen, vermenigvuldigingen of zoekfactoren nodig.
In beide gevallen elimineert de zeef snel getallen die beslist geen priemgetallen zijn. Het concept van deze methode is gebaseerd op het feit dat elk getal in factoren kan worden verdeeld . Deze factoren kunnen vervolgens, indien nodig, worden verdeeld totdat alleen de belangrijkste factoren overblijven.
Dit wordt priemfactorisatie van een getal genoemd. Een dergelijk proces geeft aan dat alle niet-priemgetallen een unieke reeks priemfactoren hebben.
Met andere woorden: elk niet-priemgetal heeft een priemgetal als factor. Zodra een priemgetal is geïdentificeerd, kunnen alle veelvouden ervan automatisch als niet-priemgetallen worden beschouwd. De Eratosthenes-zeef is een methode om ze te elimineren. Als voorbeeld kunnen we de priemgetallen tussen 1 en 30 beschouwen:
Het eerste dat u moet begrijpen, is dat priemgetallen de getallen zijn die worden gedeeld door het getal 1 en zichzelf. Omdat dit duidelijk is, laten we het voorbeeld nemen van de zeef van Eratosthenes:
- Teken een tabel met de cijfers 1 tot en met 30.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | tien |
| elf | 12 | 13 | 14 | vijftien |
| 16 | 17 | 18 | 19 | twintig |
| eenentwintig | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Markeer vervolgens het getal 2 als een priemgetal en verwijder alle veelvouden van 2 uit de lijst.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | tien |
| elf | 12 | 13 | 14 | vijftien |
| 16 | 17 | 18 | 19 | twintig |
| eenentwintig | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Beschouw vervolgens het volgende ongemarkeerde getal, namelijk 3, als een priemgetal en streep alle veelvouden ervan uit de lijst.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | tien |
| elf | 12 | 13 | 14 | vijftien |
| 16 | 17 | 18 | 19 | twintig |
| eenentwintig | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Verwijder vervolgens alle veelvouden van 5 uit de lijst zonder 5 te markeren. In dit geval is het eenvoudig: u hoeft alleen maar de getallen te verwijderen die eindigen op 5 en 0.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | tien |
| elf | 12 | 13 | 14 | vijftien |
| 16 | 17 | 18 | 19 | twintig |
| eenentwintig | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Ten slotte is de volgende stap het vinden van de veelvouden van 7 die al eerder zijn geëlimineerd door de veelvouden van 2 en 3 (14 en 21) door te strepen.
Na dit proces hebben we de volgende priemgetallen tussen 2 en 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .
Wat zijn de toepassingen van de Eratosthenes-zeef in het dagelijks leven?
Hoewel het lijkt alsof dit algoritme niet veel praktische toepassingen heeft in het dagelijks leven, heeft het in werkelijkheid verschillende belangrijke toepassingen.
Een van de meest voorkomende toepassingen van de zeef van Eratosthenes is in de cryptografie . Priemgetallen spelen een fundamentele rol in de beveiliging van veel encryptiesystemen. Daarom is de Eratosthenes-zeef een handig hulpmiddel voor het vinden en genereren van priemgetallen.
Een andere relevante toepassing van de zeef van Eratosthenes is het ontbinden van getallen. Als je de factoren van een groot getal wilt vinden, kun je de zeef van Eratosthenes gebruiken om te bepalen welke priemgetallen dat getal verdelen. Dit kan handig zijn voor het oplossen van wiskundige problemen of het analyseren van de structuur van een getal.
Daarnaast wordt de Eratosthenes-zeef gebruikt in optimalisatiealgoritmen en bij de studie van datasets. Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om patronen of trends in grote digitale datasets te vinden.
Hoewel de Eratosthenes-zeef een heel eenvoudig wiskundig algoritme is, heeft deze over het algemeen veel praktische toepassingen in het dagelijks leven.
Hoe leg je de zeef van Eratosthenes aan een kind uit?
Hoewel dit misschien een complex onderwerp lijkt, kan het gemakkelijk aan kinderen worden uitgelegd aan de hand van voorbeelden en spelletjes. Hier zijn enkele ideeën om de zeef van Eratosthenes aan kinderen uit te leggen :
- Begin met uit te leggen wat priemgetallen zijn
- Help kinderen begrijpen hoe de zeef van Eratosthenes wordt gebruikt om priemgetallen te vinden. Een manier om dit te doen is door een eliminatiespel te gebruiken. Vraag kinderen bijvoorbeeld om alle veelvouden van 2 te verwijderen uit een lijst met getallen van 2 tot en met 30. Vervolgens kunnen ze alle veelvouden van 3 verwijderen, enzovoort. De getallen die niet geëlimineerd zijn, zijn de priemgetallen.
- Om het concept interessanter te maken voor kinderen, kunnen ze spelen met het vinden van priemgetallen in verschillende contexten. Ze kunnen bijvoorbeeld zoeken naar priemgetallen in de geboortedata van hun vrienden of het nummer van het huis waarin ze wonen.
Om het concept te versterken, is het de moeite waard om kinderen te oefenen met het vinden van priemgetallen met behulp van de Eratosthenes-zeef in verschillende getalbereiken. Met deze activiteiten kunnen kinderen op een leuke manier de zeef van Eratosthenes ontdekken en het belang ervan in de wiskunde en in het dagelijks leven begrijpen.
Geschiedenis van de zeefmethode van Eratosthenes
Eratosthenes was een Griekse wiskundige en astronoom die in de 3e eeuw voor Christus leefde. Hij staat zelfs bekend om zijn belangrijke bijdragen aan de wiskunde en de wetenschap, waaronder de Eratosthenes Sieve-methode.
Deze geweldige persoon leefde in een tijd van rijke experimenten en intellectuele nieuwsgierigheid. Dit Hellenistische tijdperk zag de verspreiding van de Griekse wetenschap en filosofie over de hele westerse wereld.
Geleerden en wetenschappers van over de hele wereld kwamen bijeen in nieuwe bibliotheken en scholen om te debatteren, discussiëren en van elkaar te leren. Eratosthenes gebruikte veel van deze ideeën als basis voor een groot aantal wiskundige ontdekkingen . Eén van deze ontdekkingen was de Zeef van Eratosthenes.
Eratosthenes was de bibliothecaris van de Bibliotheek van Alexandrië , een van de meest relevante onderzoeks- en onderwijsinstellingen van die tijd. Tijdens zijn tijd als bibliothecaris ontwikkelde Eratosthenes de Eratosthenes Sieve-methode. Deze methode is een van de beste als u priemgetallen wilt lokaliseren die kleiner zijn dan een bepaald getal.
De Eratosthenes Sieve-procedure wordt sindsdien gebruikt als een fundamenteel hulpmiddel in de wiskunde. Hierdoor is het toepasbaar op gebieden variërend van cryptografie tot wiskundig onderzoek. Hoewel er snellere methoden zijn om priemgetallen te vinden, blijft de Eratosthenes Sieve-methode een effectieve en veelgebruikte manier .