Etymologisch komen quaternions of quaternions van het Latijnse quaterni . In het Spaans vertaalt het woord zich naar “met vier”. De interpretatie ervan betekent echter “aantal van vier elementen”.
Quaternionen zijn elementen van een niet-permutant veld dat oorspronkelijk werd gecreëerd door William Rowan Hamilton. Quaternionen worden gedefinieerd als de uitbreiding van de reële getallen waaruit een hypercomplex getal bestaat. In feite lijken ze behoorlijk op complexe getallen .
Dat wil zeggen dat quaternionen optreden als gevolg van analoog veroorzaakte amplificatie. Aan de andere kant worden complexe getallen geproduceerd als een uitbreiding van de reële getallen met de som van de denkbeeldige eenheid i , dus i kwadraat is gelijk aan -1. In het eerste geval worden de denkbeeldige eenheden k , i en j opgeteld bij de reële getallen.
Daarom geldt met betrekking tot quaternionen het volgende: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Deze weergave komt overeen met die in de tabel van Cayley . Op dit punt is het vermeldenswaard dat i , j , k en 1 de vier fundamentele pijlers van quaternionen zijn.
| × | 1 | Jo | J | Wat |
| 1 | 1 | Jo | J | Wat |
| Jo | Jo | -1 | Wat | -J |
| J | J | -k | -1 | Jo |
| Wat | Wat | J | -Ja | -1 |
William Hamilton vond in 1843 quaternionen uit als een methode waarmee hij vectoren kon vermenigvuldigen, delen, roteren en uitrekken.
Hoe worden quaternionen gemaakt?
Quaternionen vormen een prachtige algebra waarin elk van zijn objecten 4 variabelen bevat . In feite worden ze soms Euler-parameters genoemd, die niet mogen worden verward met Euler-hoeken. Deze objecten kunnen als een enkele eenheid worden opgeteld en vermenigvuldigd op een manier die vergelijkbaar is met de algebra van reguliere getallen.
Er is echter een verschil. In wiskundige termen is de vermenigvuldiging van quaternionen niet commutatief.
Quaternionen hebben 4 dimensies. Elk quaternion is samengesteld uit 4 scalaire getallen , een reële dimensie en 3 denkbeeldige dimensies. Elk van deze denkbeeldige dimensies heeft een eenheidswaarde van de vierkantswortel van -1. Dit zijn echter verschillende vierkantswortels van -1, allemaal loodrecht op elkaar, genaamd i , j en k . Een quaternion kan dus als volgt worden weergegeven:
x = (a, b, c, d), geschreven als x = a + bi + cj + dk
Dienovereenkomstig vertegenwoordigen a, b, c en d reële getallen die ondubbelzinnig worden gedefinieerd door elk quaternion. Aan de andere kant zijn de getallen 1, i , j en k eenvoudig. Als we quaternionen willen weergeven met behulp van een verzameling, kunnen we het volgende doen: Ervan uitgaande dat IR 4 de verzameling vertegenwoordigt, is de uitdrukking: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Deze set komt overeen met een echte vierdimensionale ruimte. Net zoals een reeks reële getallen overeenkomt met de ruimte die in één dimensie bestaat, en de reeks complexe getallen overeenkomt met de ruimte in twee dimensies.
Wat is de algebraïsche structuur van quaternionen?
Een quaternion illustreert een onregelmatig lichaam . Dit betekent dat het een algebraïsche structuur is die lijkt op een veld. Het is echter niet commutatief bij vermenigvuldiging. Met andere woorden, het vervult alle kwaliteiten van een lichaam, maar het resultaat is niet commutatief.
Quaternionvermenigvuldiging is associatief. Bovendien heeft elk quaternion dat niet nul is, een unieke inverse . Quaternionen vormen geen associatieve algebra vergeleken met complexe getallen.
Ten slotte creëren quaternionen, op dezelfde manier waarop complexe getallen en reële getallen de Euclidische vectordimensies van eenheids- of dubbele ruimtes vertegenwoordigen, een vierdimensionaal Euclidisch vectorgebied.
Hoe worden quaternionen weergegeven in matrices?
Matrixrepresentaties zijn ook kenmerkend voor quaternionen. In dit geval worden wiskundige matrices toegepast voor de expressie ervan. Als we bijvoorbeeld het quaternion p = a + bi + cj + dk hebben, is het mogelijk om het als volgt in een complexe 2 x 2 matrix weer te geven:
Een andere manier om matrixrepresentaties in quaternionen te gebruiken is door echte 4 x 4 matrices te gebruiken. Door matrices te gebruiken om quaternionen weer te geven, is het bovendien mogelijk om ze uit te drukken als het inproduct van twee vectoren. Eén component zou dus zijn: = (a1, a2, a3, a4) en de andere {1, i, j, k }.
In dit geval wordt het element a1 dat de reële component genereert afzonderlijk geschreven. Bovendien wordt voor het scalaire product alleen rekening gehouden met de drie basen i, j, k :
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Welke basisbewerkingen kunnen worden uitgevoerd met quaternionen?
Om een product tussen het ene quaternion en het andere op te tellen en te verkrijgen, wordt complexe getallenberekening toegepast. Dit werkt hetzelfde als bij de vorige IR 4 set . Dat wil zeggen dat genoemde set plus de rest van de operaties alle kwaliteiten van een lichaam compenseert. De enige relevantie in dit geval is dat het product niet pendelt.
Bij toevoeging gebeurt dit per termijn. Het werkt in ieder geval hetzelfde als complexe getallen. Dat is te zeggen:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Voor het product wordt het van component tot component toegepast. Volgens dit ziet het er als volgt uit:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Zoals we eerder al hebben opgemerkt, is het product van quaternionen nooit commutatief. Integendeel, het is altijd associatief . De eerder uitgewerkte bewerkingen kunnen worden uitgevoerd door de representaties te vervangen.
Wat zijn de toepassingen van quaternionen?
Een quaternion gaat veel verder dan een wiskundig onderzoek. Momenteel hebben ze verschillende toepassingen. Ten eerste worden ze gebruikt om antwoorden in de getaltheorie te verifiëren. Een voorbeeld hiervan is de stelling van Lagrange, die stelt dat elk natuurlijk getal wordt uitgedrukt als de som van vier perfecte kwadraten.
Aan de andere kant heeft het toepassingen op het gebied van de natuurkunde. Quaternionen zijn zeer nuttig voor de kwantummechanica, elektromagnetisme en nog veel meer.