De verzamelingenleer is een van de vier elementen van de wiskundige logica . Deze theorie analyseert de groepering van elementen door hun kwaliteiten en de verbanden tussen de objecten waaruit het geheel bestaat te bestuderen.
Als we het over verzamelingen hebben, bedoelen we in deze theorie abstracte groepen structuren die een soortgelijk kenmerk hebben. In deze theorie worden operaties zoals snijpunt, complement, verschil en vereniging uitgevoerd met de objecten die het geheel als zodanig creëren.
Eenvoudiger gezegd: de verzamelingenleer is een tak van de wiskunde die op verzamelingen is gebaseerd. Daarom evalueert het alle eigenschappen van elk element, evenals de verbindingen die daartussen optreden.
Zoals we al eerder hebben uitgelegd, zijn sets niets anders dan groepen objecten. Dat wil zeggen, het kunnen onder meer symbolen, woorden, cijfers, geometrische figuren, letters zijn.
Welke soorten sets zijn er?
Afhankelijk van het aantal objecten in een set, worden ze op verschillende manieren geclassificeerd. Dit zijn:
- Eindige verzamelingen : zijn alle verzamelingen die een gemeenschappelijk aantal elementen hebben. Bijvoorbeeld alle dagen van de week, alle klinkers, onder andere.
- Oneindige sets – bevatten een oneindig aantal objecten. Reële getallen bijvoorbeeld.
- Universele set : brengt alle objecten samen waarmee in een bepaald geval rekening wordt gehouden. Als u bijvoorbeeld de getallenset van een dobbelsteen wilt gebruiken, is de universele set U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Lege set : is de set die geen elementen bevat. Bijvoorbeeld alle maanden van het jaar die 27 dagen hebben.
Wat zijn de methoden om een verzameling te definiëren?
Om een verzameling te definiëren , stellen we eerst een gemeenschappelijk aspect van de elementen van de groep vast. Een eerste set bevat bijvoorbeeld positieve gehele getallen, zelfs getallen kleiner dan 20. Het zou er als volgt uitzien:
EEN= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Vanaf hier kunnen twee methoden worden gebruikt om een set te definiëren. De eerste hiervan staat bekend als de nummerings- of uitbreidingsmethode . En de tweede wordt de beschrijvingsmethode genoemd. In de eerste worden de elementen van de set specifiek vermeld, terwijl in de tweede de eigenschap waaraan de elementen moeten voldoen, is gebaseerd.
Het eerste systeem is erg handig voor het beschrijven van sets die weinig elementen bevatten. Hier zijn enkele voorbeelden:
Gooi de gewone dobbelstenen M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (eindig).
Klinkers in het alfabet G= {a, e, i, o, u} (eindig).
Terwijl de tweede methode praktischer is voor het definiëren van sets met een groot aantal elementen , of oneindige sets. Vervolgens laten we u enkele voorbeelden zien:
Alle natuurlijke getallen kleiner dan 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (voltooid).
Alle natuurlijke getallen N = {x ∈ ℕ} (oneindigheid).
Wat is een reeks getallen?
Kortom, de categorisatie waarin getallen vallen, staat bekend als getalsets . Dit in relatie tot de kenmerken van elk van hen. Dat wil zeggen, als een getal bijvoorbeeld decimalen heeft of een negatief teken heeft.
Getallensets zijn getallen die we nodig hebben om verschillende wiskundige bewerkingen uit te voeren. Dit geldt zowel in het dagelijks leven als in complexere scenario’s zoals wetenschap of techniek.
Deze sets zijn afkomstig van creaties van de menselijke geest. Ze zijn dus abstract samengesteld. Met andere woorden: digitale sets bestaan materieel niet. Nummersets worden vervolgens onderverdeeld in verschillende soorten nummers.
- Natuurlijke getallen : dit zijn de getallen die we allemaal gebruiken om te tellen. Ze strekken zich uit tot in het oneindige en nemen kleine fracties van een eenheid. Formeel wordt de verzameling natuurlijke getallen uitgedrukt met de letter N en als volgt: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Gehele getallen : deze getallen omvatten de natuurlijke getallen. Ook alle getallen die omzichtige breuken bezetten, maar waarvoor een negatief teken staat. Op dezelfde manier wordt er ook nul toegevoegd. Ze kunnen als volgt worden uitgedrukt: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. In deze set heeft elk van de getallen zijn equivalent met het tegenovergestelde teken. Met andere woorden: het tegenovergestelde van 8 is – 8.
- Rationele getallen : Rationele getallen omvatten getallen die worden uitgedrukt als een quotiënt van twee gehele getallen en alle gehele getallen. Dit betekent dat ze zonder enig probleem een decimaal getal kunnen hebben. Deze verzameling kan als volgt worden uitgedrukt: ℚ = ℤ/ℤ.
- Irrationele getallen : deze getallen worden niet uitgedrukt als een quotiënt van twee hele getallen. Bovendien worden ze niet gespecificeerd in een doorlopende periodieke sectie, ook al strekken ze zich uit tot in het oneindige. Het is noodzakelijk om te verduidelijken dat irrationele en rationale getallen deel uitmaken van verschillende sets. Ze hebben dus geen gemeenschappelijke kenmerken. Een voorbeeld van een irrationeel getal is: √123. 11.0905365064.
- Reële getallen : deze getallen omvatten rationale en irrationele getallen. Dit betekent dat deze groep getallen omvat van minus oneindig tot oneindig.
- Denkbeeldige getallen : deze getallen worden verkregen als resultaat van het vermenigvuldigen van de denkbeeldige eenheid met een reëel getal. De denkbeeldige eenheid vertaalt zich naar de vierkantswortel van – 1. Deze getallen hebben geen relatie met de reële getallen. Ze worden als volgt uitgedrukt: p= r * s. In dit geval: p is een denkbeeldig getal, r is een reëel getal en s is de denkbeeldige eenheid.
- Complexe getallen – Complexe getallen hebben een imaginair deel en een reëel deel. De structuur wordt als volgt uitgedrukt: v + ri. In dit geval: v is een reëel getal, r is het imaginaire deel, i is de denkbeeldige eenheid
Wat is de unie van verzamelingen?
We kunnen ervan uitgaan dat de unie van verzamelingen niets anders is dan een binaire bewerking die wordt uitgevoerd op de verzameling van alle interne verzamelingen van een U. Begrijp door binaire bewerking dat wat afhangt van de operator en twee argumenten voor het bestaan van een bepaalde berekening.
In deze zin is elk paar sets A en B dat deel uitmaakt van U geassocieerd met een andere set (AUB) van U. Als A en B dus twee verschillende sets zijn, wordt de vereniging van de sets als volgt uitgedrukt: A={ Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Wat is het snijpunt van verzamelingen?
Set-kruising is een bewerking die uitmondt in een andere set met herhaalde of frequente objecten naar de originele sets. Als er een snijpunt van lege verzamelingen optreedt, wordt dit als disjunct beschouwd. In dit geval wordt dit als volgt uitgedrukt: S ∩ D = Ø.
Het symbool ∩ in deze bewerking reageert op snijpunt. Laten we voor een beter begrip het volgende voorbeeld bekijken:
M= {Groen, Zwart, Wit, Paars}.
J = {Zwart, Groen, Roze, Blauw}.
In dit geval: M ∩ J = {groen, zwart} omdat dit de objecten zijn die zich herhalen in de twee initiële sets.
Wat is het algemene verschil?
Het verzamelingsverschil is de derde bewerking die deel uitmaakt van de verzamelingenleer. Het wordt gedefinieerd als de bewerking die het mogelijk maakt een nieuwe verzameling te verkrijgen uit de objecten van A die niet in B voorkomen. Bijvoorbeeld:
EEN = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Het setverschil wordt dus verkregen uit de elementen die deel uitmaken van set A, maar niet van set B. Dit resulteert in {10, 12, 14}.
Wat is het complement van een verzameling?
Het complement van een verzameling wordt gedefinieerd als alle objecten van U die geen deel uitmaken van de verzameling. Met andere woorden, het is een set die elementen bevat die niet de originele set vormen. Om dit concept beter te begrijpen, is het essentieel om de objecten te kennen die worden gebruikt, of juist het type universele set.
Met andere woorden, als we het bijvoorbeeld over priemgetallen hebben, is de complementaire verzameling die van niet-priemgetallen. Tegelijkertijd is de reeks priemgetallen het complement van niet-priemgetallen.
Wat is het symmetrische verschil tussen de sets?
Het symmetrische verschil tussen sets is een set waarvan de objecten deel uitmaken van een initiële set, zonder tegelijkertijd iets te maken te hebben met de andere twee sets. Als we deze operatie illustreren vanuit de verzamelingenleer, krijgen we het volgende:
{1, 2, 3} en {2, 3, 4, 6, 9, 8} = het symmetrische verschil zou {1, 4, 6, 9, 8} zijn.
Wat is het Venn-diagram?
De grafieken die deel uitmaken van het Venn-diagram zijn allemaal uitgedrukt door een ononderbroken gesloten lijn. Dat wil zeggen, onder andere ovalen, driehoeken, cirkels. Over het algemeen wordt de universele verzameling uitgedrukt als een rechthoek. De rest van de sets wordt geometrisch uitgedrukt met cirkels of ovalen.
Het is belangrijk om in gedachten te houden dat dit diagram geen wiskundig bewijs impliceert. Het is echter nuttig om een intuïtie te hebben van het verband tussen een bepaalde set en een andere.
Waar is de verzamelingenleer van toepassing?
De toepassingsgebieden van de verzamelingenleer zijn talrijk. Het wordt voornamelijk gebruikt bij het formuleren van geometrische logische bases. Het heeft echter ook andere toepassingen, zoals topologie . Over het algemeen is deze theorie relevant in de wetenschap, wiskunde, natuurkunde, biologie, scheikunde en zelfs techniek.
Om de wiskundige logica beter te begrijpen, is het essentieel om dit element goed te kennen; de verzamelingenleer is een van de belangrijkste. Bovendien heeft het niet alleen een toepassing in de wiskunde, zoals we al eerder hebben uitgelegd.
Hoe praten we over verzamelingenleer in het dagelijks taalgebruik?
De verzamelingenleer is een fundamenteel onderdeel van de wiskunde. Maar het gaat ook om gebieden die meer dagelijks dan operationeel zijn. Met andere woorden, het zijn niet altijd numerieke sets. In traditionele taal is het verwijzen naar een verzameling iets ingewikkelder.
De reden is dat als we bijvoorbeeld een groep van de belangrijkste schilders willen vormen, de percepties gevarieerd zullen zijn. Daarom is consensus vrijwel onmogelijk . Kortom, het is niet zo eenvoudig om op basis van hun kwaliteiten te bepalen wie wel of niet in de groep zit.
Sommige van deze specifieke sets zijn gedefinieerd als lege sets of bevatten geen elementen. Bovendien kunnen we te maken hebben met sets van één enkel element of eenheden.
Wat is de geschiedenis van de verzamelingenleer?
De verzamelingenleer ontstaat door het onderzoek van de Duitser Georg Cantor . Dit personage was een gerenommeerd wiskundige. Sterker nog, tot op de dag van vandaag staat hij bekend als de vader van deze theorie. Tot de meest relevante onderzoeken van de onderzoekers behoren numerieke en oneindige verzamelingen.
Cantors eerste onderzoek met betrekking tot de verzamelingenleer vond plaats in 1874. Daarnaast is het belangrijk te vermelden dat zijn werk verbonden bleef met het onderzoek van Richard Dedekind , een belangrijke wiskundige uit die tijd. Zelfs laatstgenoemde speelde een fundamentele rol in de studie van natuurlijke getallen.
Hoe belangrijk is de verzamelingenleer?
De studie van deze theorie is essentieel voor de analyse van waarschijnlijkheid , wiskunde in alles wat daarmee samenhangt, en statistiek. Elk van de bewerkingen die deel uitmaken van deze theorie wordt gebruikt om experimenten uit te voeren om een specifiek resultaat te verkrijgen.
De antwoorden hebben altijd te maken met de omstandigheden waarin het experiment wordt uitgevoerd. Om deze reden spelen sets een fundamentele rol in dit soort onderzoek .