▷ Hoe wordt de hoek tussen twee vectoren berekend? (formule) ✅

Op deze pagina ontdek je hoe je de hoek tussen twee vectoren berekent. Daarnaast krijg je ook voorbeelden te zien en kun je oefenen met oefeningen en stap voor stap opgeloste problemen.

Formule voor de hoek tussen twee vectoren

Als we de definitie van het puntproduct onthouden, kan dit worden berekend met behulp van de volgende vergelijking:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Uit deze gelijkheid kunnen we de formule verkrijgen die ons zal helpen direct de hoek te vinden die wordt gevormd door twee vectoren:

De cosinus van de hoek gevormd door twee vectoren is gelijk aan het puntproduct tussen de twee vectoren gedeeld door het product van de moduli van de twee vectoren.

Met andere woorden, de formule voor het bepalen van de hoek gevormd door twee vectoren is als volgt:

Om de hoek te vinden die door twee vectoren wordt gevormd, is het daarom essentieel dat u weet hoe u de grootte van een vector kunt berekenen . In deze link vind je de formule, voorbeelden en opgeloste oefeningen voor de module van een vector, dus als je deze vectorbewerking nog niet onder de knie hebt, raden we je aan om er eens een kijkje te nemen.

Deze formule werkt zowel voor het vlak (in R2) als voor de ruimte (in R3). Dat wil zeggen dat we het door elkaar kunnen gebruiken voor vectoren met twee of drie componenten.

Soms is het echter niet nodig om deze formule toe te passen, omdat de hoek tussen de vectoren kan worden afgeleid:

De hoek tussen twee loodrechte vectoren (die dezelfde richting hebben) is 0º.
De hoek tussen twee orthogonale (of loodrechte) vectoren is 90º.

Voorbeeld van hoe u de hoek tussen twee vectoren kunt vinden

Als voorbeeld berekenen we de hoek gevormd door de volgende twee vectoren:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

We moeten eerst de module van elke vector berekenen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

We gebruiken nu de formule om de cosinus van de hoek tussen de twee vectoren te berekenen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

En ten slotte vinden we de overeenkomstige hoek door de inverse van de cosinus uit te voeren met behulp van de rekenmachine:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

De twee vectoren vormen dus een hoek van 81,95º.

Opgeloste oefeningen over hoeken tussen vectoren

Oefening 1

Bereken de hoek tussen de volgende twee vectoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Zie de oplossing

Allereerst moeten we de modulus van de twee vectoren berekenen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

We gebruiken de formule om de cosinus van de hoek gevormd door de vectoren te berekenen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Ten slotte vinden we de overeenkomstige hoek door de inverse van de cosinus uit te voeren met de rekenmachine:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Oefening 2

Bepaal de hoek die bestaat tussen de volgende twee vectoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Zie de oplossing

Allereerst moeten we de modules van de vectoren vinden:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

We gebruiken de formule om de cosinus te bepalen van de hoek die de vectoren hebben:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

En ten slotte vinden we de overeenkomstige hoek door de inverse van de cosinus met de rekenmachine uit te voeren:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Oefening 3

Bereken de waarde van

$k$

zodat de volgende vectoren loodrecht staan:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Zie de oplossing

Twee loodrechte vectoren vormen een hoek van 90°. Nog:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

De noemer van de breuk deelt de hele rechterkant van de vergelijking, dus we kunnen deze met de andere kant vermenigvuldigen:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Nu lossen we het puntproduct op:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

En tot slot ontrafelen we het mysterie:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Oefening 4

Zoek de waarde die de constanten moeten hebben

$a$

$b$

zodat de volgende vectoren loodrecht staan, en bovendien is het waar

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Zie de oplossing

We zullen eerst de modulusvoorwaarde gebruiken om de waarde van te vinden

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

We verhogen beide zijden van de vergelijking om de vierkantswortel te verwijderen:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

En we ontrafelen het mysterie:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Zodra we de waarde ervan kennen

$a$

, vind de waarde van

$b$

door de formule voor de hoek van twee vectoren toe te passen, aangezien de verklaring ons vertelt dat ze loodrecht moeten staan, of wat gelijkwaardig is, ze moeten 90 graden vormen.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

De noemer van de breuk deelt de hele rechterkant van de vergelijking, dus we kunnen deze met de andere kant vermenigvuldigen:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Laten we nu proberen het puntproduct op te lossen:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

En tot slot ontrafelen we het mysterie:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Oefening 5

Hoeken berekenen

$\alpha , \beta$

$\gamma$

die de zijden vormen van de volgende driehoek:

oefeningen en problemen die stap voor stap worden opgelost van het scalaire product van twee vectoren

Zie de oplossing

De hoekpunten waaruit de driehoek bestaat, zijn de volgende punten:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Om de binnenhoeken van de driehoek te berekenen, kunnen we de vectoren van elk van de zijden berekenen en vervolgens de hoek vinden die ze vormen met behulp van de puntproductformule.

Bijvoorbeeld om de hoek te vinden

$\alpha$

We berekenen de vectoren van de zijden:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

En we vinden de hoek gevormd door de twee vectoren met behulp van de scalaire productformule:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Nu herhalen we dezelfde procedure om de hoek te bepalen

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Om ten slotte de laatste hoek te vinden, kunnen we dezelfde procedure herhalen. Alle hoeken in een driehoek moeten echter opgeteld 180 graden zijn, dus:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Hoe de hoek tussen twee vectoren te berekenen

Formule voor de hoek tussen twee vectoren

Voorbeeld van hoe u de hoek tussen twee vectoren kunt vinden

Opgeloste oefeningen over hoeken tussen vectoren

Oefening 1

Oefening 2

Oefening 3

Oefening 4

Oefening 5

Laat een reactie achter Reactie annuleren