▷ Faculteit van een getal: wat het is en hoe je het berekent ✅

Op deze pagina wordt uitgelegd wat de faculteit van een getal is en hoe deze wordt berekend. Daarnaast worden verschillende voorbeelden en een tabel met de waarden van de meest gebruikte faculteiten gepresenteerd. Ook leert u hoe u de faculteit van een getal met de rekenmachine kunt berekenen. En tenslotte worden de toepassingen en eigenschappen van faculteiten geïllustreerd.

Wat is de faculteit van een getal?

In de wiskunde is de faculteit van een getal gelijk aan het product van alle positieve gehele getallen van 1 tot dat getal. Bovendien wordt de faculteit van een getal weergegeven door een uitroepteken (!) na het getal.

Om bijvoorbeeld de faculteit van het getal n te bepalen, ook wel faculteit n genoemd, moet je het getal n vermenigvuldigen met alle gehele getallen die eraan voorafgaan (beginnend met één):

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

Hoe de faculteit van een getal te berekenen

Zodra we de betekenis van de faculteit van een getal hebben gezien, laten we met een voorbeeld kijken hoe we een faculteit kunnen bepalen:

Bereken de faculteit van 4:

Zoals we in de wiskundige definitie ervan hebben gezien, is de faculteit van een getal gelijk aan de vermenigvuldiging van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan dat getal. Om de faculteit van 4 te berekenen, moeten we daarom de getallen 1, 2, 3 en 4 vermenigvuldigen:

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

De faculteit van 4 geeft dus 24.

Voorbeelden van faculteiten van getallen

Om het begrip faculteit van een getal te begrijpen, geven we u een voorbeeld van het berekenen van verschillende faculteiten van verschillende getallen:

Faculteit van 3:

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

Faculteit van 5:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

Faculteit van 6:

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

Faculteit van 1:

$1! = 1$

Logischerwijs is de faculteit van het getal 1 gelijk aan 1, omdat het voldoende is om 1 te vermenigvuldigen.

Faculteit van 0:

$0! = 1$

Ja, oké, verrassend genoeg is de faculteit van 0 niet gelijk aan nul, maar aan 1. Dit lijkt je misschien een beetje vreemd, want in theorie moet je 0 met 1 vermenigvuldigen. Het is echter de afspraak dat 0! =1 omdat de producteigenschap leeg is . We laten u deze link achter voor het geval u meer wilt weten, hoewel het niet echt relevant is dat u de reden kent, het belangrijkste is dat u onthoudt dat de faculteit van 0 gelijk is aan 1 .

Lijst met resultaten voor faculteiten van getallen

Hieronder hebben we de faculteiten van de meest gebruikte getallen samengevat in een tabel, zodat je ze niet met de hand hoeft te berekenen.

Het nummer	Faculteit van het getal
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
tien	3.628.800
elf	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87 178 291 200
vijftien	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
twintig	2.432.902.008 176.640.000
vijftig	3.041.409.320 · ^10,64
100	9.332 621.544 · ^10.157
1.000	4.023.872.601 · ^10,2567
10.000	2.846.259.681 · ^10.35.659
100.000	2 824 229 408 · 10 ^{45 6573}
1.000.000	8.263.931.688 · 10 ^5.565.708

Faculteit van een getal met de rekenmachine

Zoals je in de voorgaande voorbeelden kunt zien, nemen de resultaten van faculteiten van twee opeenvolgende getallen exponentieel toe. Daarom is het vrij moeilijk om de faculteit van grote getallen te kennen. We laten u dus zien hoe u de faculteit van een getal kunt vinden met de rekenmachine.

Wetenschappelijke rekenmachines hebben een sleutel met het symbool x! of n! die wordt gebruikt om de faculteit van een geheel getal te berekenen. Om te bepalen hoeveel een faculteit waard is, moet u dus de volgende reeks op de rekenmachine uitvoeren:

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

Normaal gesproken hebben CASIO-rekenmachines de faculteitstoets x! of n! boven de x ^-1- knop.

Als voorbeeld gaan we een faculteit oplossen met de rekenmachine, zodat je kunt controleren of je weet hoe je het moet doen. We zullen bijvoorbeeld de faculteit van 9 doen:

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

Om de faculteit van 9 te vinden, moet u eerst het getal 9 invoeren en vervolgens op de toets drukken

$\boxed{x!}$

en ten slotte drukt u op de gelijke knop. In dit geval zou de rekenmachine ons het resultaat van 362.880 moeten tonen.

Toepassingen van het faculteitsnummer

De faculteitsfunctie van een getal lijkt misschien een heel eenvoudige en absurde bewerking, maar in de geavanceerde algebra wordt er nogal wat van gebruikt. Vervolgens zullen we de belangrijkste toepassingen van de faculteit zien.

Allereerst is de faculteit een essentiële bewerking voor het berekenen van een combinatorisch getal , een meer dan bijzondere bewerking. Als je niet weet wat het combinatorische getal is, kun je in deze link zien waaruit het bestaat en hoe het wordt berekend. Hier vind je voorbeelden, opgeloste oefeningen en wat de eigenschappen ervan zijn. Bovendien kunt u zien waarvoor het wordt gebruikt, omdat het veel toepassingen in de echte wereld heeft.

De faculteit wordt ook in de wiskunde gebruikt om het Taylorpolynoom van een functie te bepalen.

Op dezelfde manier wordt de faculteit gebruikt om bepaalde combinatorische problemen op te lossen, in het bijzonder om combinaties en permutaties te berekenen. In deze zin worden faculteiten ook vaak gebruikt om kansen te berekenen met behulp van combinatoriek.

Een permutatie van n elementen komt overeen met elk van de verschillende arrangementen die met deze elementen kunnen worden gemaakt. Om een permutatie te berekenen, wordt dus de faculteit gebruikt. Als je bijvoorbeeld in een probleem het aantal mogelijkheden wilt vinden waarin 7 objecten kunnen worden gerangschikt, moet je de faculteit van 7 berekenen.

Laten we nu eens kijken naar een opgeloste oefening:

We hebben 5 verschillende paar schoenen, op hoeveel manieren kunnen we deze rangschikken?

In deze oefening moeten we alle mogelijke manieren ontdekken om deze 5 paar schoenen te combineren, rekening houdend met de volgorde waarin we ze plaatsen. Dus om het probleem op te lossen, hoef je alleen maar de faculteit van 5 te berekenen:

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

Kortom, de 5 paar schoenen zijn op 120 verschillende manieren te plaatsen.

Eigenschappen van faculteitsnummer

Het faculteitsnummer heeft de volgende kenmerken:

Omdat het twee positieve gehele getallen n en m zijn zodat n groter is dan m , is de waarde van de faculteit van n uiteraard groter dan de waarde van de faculteit van m .

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”15″ width=”183″ style=”vertical-align: -2px;”> <ul style=$

De faculteit van een getal kan factorieel worden ontleed, zodat een van de factoren de faculteit van een kleiner getal is.

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”361″ style=”vertical-align: -5px;”> 6 is bijvoorbeeld groter dan 4, dus de uitdrukking voor de faculteit van 6 kan als volgt worden vereenvoudigd: <p class=$ $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

De volgende algebraïsche uitdrukking is geldig voor de faculteit van elk getal, behalve de faculteit van 1:

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

Faculteit van een negatief of decimaal getal

We hebben zojuist gezien hoe we de waarde van de faculteit van een positief geheel getal kunnen vinden, maar… kunnen we de faculteit van een negatief getal of een decimaal getal berekenen? Het antwoord is ja, maar geavanceerde kennis van de wiskunde is vereist.

De faculteit van een negatief getal en een decimaal getal wordt berekend met behulp van een speciale functie genaamd de “Gamma-functie” van Euler, die wordt gedefinieerd door de volgende integraal:

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

Elk type faculteit kan dus worden opgelost met de Gamma-functie, omdat de volgende vergelijking altijd waar is:

$n! = \Gamma(n+1)$

Om bijvoorbeeld de faculteit van 0,5 te vinden, moeten we de waarde van vinden

$\Gamma(1,5)$

omdat:

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

En de oplossing van de integraal komt overeen met de faculteit van 0,5.

Het is duidelijk dat het oplossen van de integraal van de Gamma-functie niet eenvoudig is en we zullen dit in dit artikel niet behandelen, omdat veel wiskundige concepten van tevoren moeten worden uitgelegd. Maar we wilden je laten weten dat het mogelijk is om de faculteit van een negatief getal of een decimaal getal te berekenen.

Als voorbeeld hebben we enkele negatieve factoriële en decimale waarden berekend:

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$