Maximum et minimum d'une fonction (extrêmes relatifs) -

Dans cet article, vous découvrirez comment calculer le maximum et le minimum d’une fonction, nous vous l’expliquons en résolvant deux exemples étape par étape. De plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape sur les maximums et les minimums d’une fonction.

Quels sont le maximum et le minimum d’une fonction ?

Les maxima d’une fonction sont les plus grandes valeurs de la fonction et les minima d’une fonction sont les plus petites valeurs de la fonction. Les maxima et minima d’une fonction sont des extrêmes relatifs lorsqu’ils ne représentent que les valeurs les plus grandes ou les plus petites de leur environnement, mais ils sont des extrêmes absolus lorsqu’ils représentent les valeurs les plus grandes ou les plus petites de la fonction entière.

Vous pouvez également identifier les extrêmes relatifs en étudiant la croissance et la diminution de la fonction :

Un point est un maximum relatif lorsque la fonction passe de croissant à décroissant.
Un point est un minimum relatif lorsque la fonction passe de décroissante à croissante.

Comment trouver le maximum et le minimum d’une fonction

A partir de la dérivée première et seconde d’une fonction, on peut savoir si une fonction a un extremum relatif en un point et si ledit point est un maximum relatif ou un minimum relatif :

Une fonction a un extremum relatif aux points qui annulent sa dérivée première.

$f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}$

Et le signe de la dérivée seconde de la fonction détermine si le point est un maximum ou un minimum :
- Si la dérivée seconde est négative, la fonction a un maximum relatif à ce stade.
- Si la dérivée seconde est positive, la fonction a un minimum relatif à ce stade.

Exemple 1 : Comment calculer le maximum et le minimum d’une fonction

Une fois que nous avons vu les définitions du maximum et du minimum d’une fonction, nous allons résoudre un exemple étape par étape afin que vous puissiez voir comment sont calculés le maximum et le minimum d’une fonction.

Calculez les extrêmes relatifs de la fonction suivante et déterminez s’il s’agit de maximums ou de minimums :

$f(x)=x^3-3x$

Les extrêmes relatifs de la fonction seront les points qui satisfont

$f'(x)=0$ . Par conséquent, nous calculons d’abord la dérivée de la fonction :

$f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3$

Et maintenant, nous fixons la dérivée de la fonction égale à zéro et résolvons l’équation quadratique résultante :

$f'(x)=0$

$3x^2-3=0$

$3x^2=3$

$x^2=\cfrac{3}{3}$

$x^2=1$

$x= \pm 1$

Par conséquent, les extrêmes relatifs de la fonction sont x=+1 et x=-1.

Une fois que nous connaissons les extrêmes relatifs de la fonction, nous pouvons savoir s’ils sont un maximum ou un minimum avec le signe de la dérivée seconde. On calcule donc la dérivée seconde de la fonction :

$f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x$

Et maintenant, nous évaluons dans la dérivée seconde les extrêmes relatifs que nous avons trouvés auparavant, pour savoir s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum relatif :

$f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow$ Minimum relatif

$f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow$ Maximum relatif

La dérivée seconde en x=1 est positive, donc x=1 est un minimum relatif . D’un autre côté, la dérivée seconde en x=-1 est négative, donc x=-1 est un maximum relatif .

Enfin, nous substituons les points trouvés dans la fonction d’origine pour trouver la coordonnée Y des extrêmes relatifs :

$f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)$

$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)$

En conclusion, les extrêmes relatifs de la fonction sont :

Minimum au point

$\bm{(1,-2)}$

Maximum sur le point

$\bm{(-1,2)}$

Exemple 2 : Étudier la monotonie et les maxima et minima d’une fonction

Voyons maintenant comment un autre type d’exercice est résolu. Dans ce cas nous expliquerons comment trouver le maximum et le minimum à partir de la monotonie d’une fonction.

Étudiez la monotonie et calculez les extrêmes relatifs de la fonction suivante :

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}$

La première chose à faire est de calculer le domaine de définition de la fonction. Étant une fonction rationnelle, nous devons mettre le dénominateur égal à 0 pour voir quels nombres n’appartiennent pas au domaine de la fonction :

$x-1=0$

$x=1$

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}$

Une fois que nous avons calculé le domaine de définition de la fonction, nous devons étudier quels points annulent la dérivée première. On dérive donc la fonction :

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}$

Et maintenant, nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l’équation :

$f'(x)=0$

$\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0$

Le terme

$\left(x-1\right)^2}$ Il s’agit de diviser tout le côté gauche, nous pouvons donc le multiplier par tout le côté droit :

$x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2$

$x^2-2x=0$

Nous extrayons le facteur commun pour résoudre l’équation quadratique :

$x(x-2)=0$

Pour que la multiplication soit égale à 0, il faut qu’un des deux éléments de la multiplication soit nul. Nous fixons donc chaque facteur égal à 0 et obtenons les deux solutions de l’équation :

$\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}$

Une fois que nous avons calculé le domaine de la fonction et

$f'(x)=0$ , nous représentons tous les points critiques trouvés sur la ligne :

Et on évalue le signe de la dérivée dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue. Pour ce faire, nous prenons un point dans chaque intervalle (jamais les points critiques) et regardons quel signe la dérivée a à ce point :

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction augmente, mais si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction diminue. Par conséquent, les intervalles de croissance et de diminution sont :

Croissance:

$\bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}$

Diminuer:

$\bm{(0,1)\cup (1,2)}$

De plus, à x=0 la fonction passe de croissante à décroissante, donc x=0 est un maximum relatif de la fonction . Et à x=2, la fonction passe de décroissante à croissante, donc x=2 est un minimum relatif de la fonction.

Et enfin, on substitue les points trouvés dans la fonction d’origine pour trouver la coordonnée Y des extrémités :

$f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)$

$f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)$

En bref, les extrêmes relatifs de la fonction sont :

Maximum sur le point

$\bm{(0,0)}$

Minimum au point

$\bm{(2,4)}$

Exercices résolus sur les maximums et les minimums d’une fonction

Exercice 1

Calculez les extrema relatifs de la fonction polynomiale suivante et déterminez s’il s’agit de maximums ou de minimums :

$f(x)=x^3-3x^2-9x$

Voir la solution

Les extrêmes relatifs de la fonction seront les points auxquels la dérivée première de la fonction est égale à zéro. On calcule donc la dérivée de la fonction :

$f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9$

Et maintenant nous résolvons l’équation

$f'(x)=0:$

$f'(x)=0$

$3x^2-6x-9=0$

Nous avons une équation du deuxième degré, nous appliquons donc la formule générale pour la résoudre :

$\begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}$

Par conséquent, les extrêmes relatifs de la fonction sont les points x=3 et x=-1.

Une fois que nous connaissons les extrêmes relatifs de la fonction, nous pouvons savoir s’ils sont un maximum ou un minimum avec le signe de la dérivée seconde. Nous dérivons donc à nouveau la fonction :

$f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6$

Et maintenant, nous évaluons les points que nous avons calculés auparavant dans la dérivée seconde :

$f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}$

$f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}$

La dérivée seconde en x=3 est positive, donc x=3 est un minimum . Et la dérivée seconde en x=-1 est négative, donc x=-1 est un maximum .

Et enfin, on substitue les points trouvés dans la fonction d’origine pour trouver la coordonnée Y des extrémités :

$f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)$

$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)$

En bref, les extrêmes relatifs de la fonction sont :

Minimum relatif au point

$\bm{(3,-27)}$

Maximum relatif au point

$\bm{(-1,5)}$

Exercice 2

Calculez les extrema relatifs de la fonction exponentielle suivante et déterminez s’il s’agit de maximums ou de minimums :

$f(x)=e^x(x-1)$

Voir la solution

Tout d’abord, nous devons différencier la fonction. Pour ce faire, on applique la formule de la dérivée d’un produit :

$f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1$

$f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x$

Et maintenant nous résolvons l’équation

$f'(x)=0:$

$f'(x)=0$

$xe^x=0$

$\displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$

Un nombre élevé à un autre ne peut jamais donner 0. Par conséquent,

$e^x=0$ n’a pas de solution et le seul extrême relatif est $x=0$ .

Maintenant on calcule la dérivée seconde de la fonction pour savoir que l’extrême relative est un maximum ou un minimum :

$f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x$

Et maintenant nous évaluons dans la dérivée seconde l’extrême que nous avons trouvé auparavant, pour voir si c’est un maximum ou un minimum :

$f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}$

Puisque la dérivée seconde en x=0 est positive, x=0 est un minimum relatif ou local .

Enfin, on substitue le point trouvé dans la fonction d’origine pour trouver l’autre coordonnée de la fin :

$f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)$

Le seul extremum relatif de la fonction est donc :

Minimum au point

$\bm{(0,-1)}$

Exercice 3

Étudiez la monotonie et trouvez les extrêmes relatifs de la fonction rationnelle suivante :

$\displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}$

Voir la solution

Tout d’abord, nous déterminons le domaine de la fonction. Pour ce faire, nous fixons le dénominateur de la fraction égal à zéro et résolvons l’équation quadratique résultante :

$x^2+1 = 0$

L’expression

$x^2+1$ Ce ne sera jamais 0, puisque le résultat de x ² sera toujours un nombre positif ou 0. Par conséquent, ajouter 1 ne donnera jamais 0. Le domaine de la fonction est donc composé uniquement de nombres réels :

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

Ensuite, nous étudions quels points se rencontrent

$f'(x)=0.$ Nous différencions la fonction à l’aide de la règle du quotient :

$f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}$

Nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l’équation :

$f'(x)= 0$

$\cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0$

$-x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2$

$-x^2+2x+1=0$

Nous avons une équation quadratique, nous utilisons donc la formule générale pour la résoudre :

$\begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}$

Une fois que nous avons calculé le domaine de la fonction et

$f'(x)=0$ , nous représentons tous les points singuliers trouvés sur la droite numérique :

Et maintenant nous évaluons le signe de la dérivée dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue. Nous prenons donc un point dans chaque intervalle (jamais les points singuliers) et regardons quel signe la dérivée a à ce point :

$f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction augmente dans cet intervalle, mais si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction diminue. Par conséquent, les intervalles de croissance et de diminution sont :

Croissance:

$\bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}$

Diminuer:

$\bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}$

La fonction passe de décroissante à croissante à x=-0,41, donc x=-0,41 est un minimum local de la fonction. Et la fonction passe de croissante à décroissante à x=2,41, donc x=2,41 est un maximum local de la fonction.

Enfin, nous substituons les extrêmes trouvés dans la fonction d’origine pour trouver les coordonnées Y des points :

$f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)$

$f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)$

Les extrêmes relatifs de la fonction sont donc :

Minimum au point

$\bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}$

Maximum sur le point

$\bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}$

Exercice 4

On sait que la fonction

$f(x)=x^2+ax+b$ passer par le point $(1,-2)$ et a un extrême relatif dans $x= -1 .$ Déterminer la valeur des inconnues $a$ et la valeur de $b .$

Voir la solution

Laissez la fonction avoir un extremum relatif dans

$x= -1$ ça veut dire que c’est accompli $f'(-1)=0.$ Par conséquent, nous calculons la dérivée de la fonction dans $x= -1$ et nous le mettons égal à 0 :