Lignes parallèles

Vous trouverez ici tout sur les droites parallèles : ce qu’elles signifient, comment déterminer si deux droites sont parallèles, leurs propriétés,… De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et exercices résolus de droites parallèles.

Que sont les droites parallèles ?

Les lignes parallèles sont ces lignes qui ne se croisent jamais, c’est-à-dire que même si leurs trajectoires sont étendues à l’infini, elles ne se touchent jamais. Par conséquent, les points de deux droites parallèles sont toujours à la même distance l’un de l’autre et, de plus, deux droites parallèles n’ont aucun point en commun.

Par exemple, les deux droites suivantes sont parallèles :

On indique généralement que deux droites sont parallèles avec 2 barres verticales || entre les lignes

D’autre part, malgré le fait que deux droites parallèles ne se coupent jamais, en géométrie analytique on dit qu’elles forment un angle de 0º puisqu’elles ont la même direction.

Quand deux droites sont-elles parallèles ?

Une fois que nous avons vu la définition des droites parallèles, nous allons voir comment trouver deux droites parallèles. Évidemment, une façon serait de représenter graphiquement les lignes et de voir si elles se croisent sur le graphique, mais il existe des méthodes encore plus simples et plus faciles à utiliser.

Déterminer le parallélisme de deux droites avec leurs pentes

Vous pouvez savoir quand deux droites sont parallèles en regardant la pente de chaque droite. Rappelez-vous que la pente d’une droite est le paramètre

$m$ à partir de l’équation explicite et de l’équation point-pente de la droite :

$y=mx+n \qquad \qquad y-y_0=m(x-x_0)$

Cependant, il existe plusieurs façons de déterminer la pente d’une droite, alors pour savoir comment la calculer, nous vous recommandons de jeter un œil à la formule de la pente d’une droite . De plus, sur la page liée, vous trouverez également une explication de ce que représente la pente d’une ligne et pourquoi elle est si importante pour une ligne.

Ainsi, dans le plan, deux droites sont parallèles si elles ont même pente (coefficient m) et des ordonnées différentes à l’origine (coefficient n) .

Par exemple, les deux droites suivantes sont parallèles :

$r: \ y=5x+1 \qquad \qquad s: \ y=5x-3$

Ce sont deux droites parallèles car elles ont toutes deux la même pente et, de plus, leurs termes indépendants sont différents.

$m_r =m_s =5$

$n_r =1 \neq n_s =-3$

Il faut noter que si deux droites avaient la même pente et en même temps la même ordonnée à l’origine, ce seraient des droites confondues car elles seraient exactement identiques.

Trouver le parallélisme de deux droites à partir de l’équation implicite

Rappelez-vous que l’équation implicite (ou générale) de la droite est :

$Ax+By+C=0$

Ainsi, si les coefficients A et B de deux droites sont proportionnels entre eux mais pas au coefficient C , cela signifie que les droites sont parallèles.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'} \neq \cfrac{C}{C'} \quad \bm{\longrightarrow} \quad r \parallel s$

Voici deux droites parallèles exprimées sous forme d’équation générale (ou implicite) :

$r: \ 4x-6y+7=0 \qquad \qquad s: \ -2x+3y-1=0$

Ils sont parallèles car les nombres devant la variable

$x$ sont proportionnels aux nombres devant la variable $y$ , mais pas avec les termes indépendants.

$\cfrac{4}{-2} = \cfrac{-6}{3} = -2 \neq \cfrac{7}{-1}=-7$

Comme précédemment, si tous les coefficients (A, B et C) de deux lignes implicites étaient proportionnels, cela impliquerait que les deux lignes coïncident, ou en d’autres termes, qu’elles sont égales.

Propriétés des lignes parallèles

Les caractéristiques des droites parallèles sont les suivantes :

Propriété symétrique : si une droite est parallèle à une autre, cette droite est également parallèle à la première. Cette propriété est également possédée par les lignes perpendiculaires.

$r \parallel s \ \longrightarrow \ s \parallel r$

Propriété transitive : si une droite est parallèle à une autre droite, et que cette deuxième droite est parallèle à une troisième droite, la première droite est également parallèle à la troisième droite.

$\left. \begin{array}{c} r \parallel s\\[2ex] s \parallel q \end{array} \right\} \longrightarrow \ r \parallel q$

Le produit scalaire des vecteurs directeurs (vecteur qui indique la direction d’une ligne) de deux lignes parallèles est égal au produit de leurs modules.

$r \parallel s \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s= \lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}}_s \rvert$

De plus, les vecteurs directeurs de deux droites parallèles sont toujours linéairement dépendants l’un de l’autre, puisqu’ils sont proportionnels .

Cette condition est nécessaire pour être des lignes parallèles mais pas suffisante, ou en d’autres termes, deux lignes parallèles doivent avoir des vecteurs de direction proportionnels, mais le fait que deux lignes ont des vecteurs de direction proportionnels n’implique pas directement qu’elles sont parallèles. Puisque les lignes coïncidentes ont également des vecteurs de direction proportionnels.

Les lignes parallèles à l’axe des abscisses (axe X) sont horizontales et sont toujours de la forme $y=k.$

Les droites parallèles à l’axe des ordonnées (axe Y) sont verticales et suivent toujours l’expression $x=k.$

Comment calculer la distance entre deux lignes parallèles dans le plan

Pour trouver la distance entre deux droites parallèles dans le plan (dans R2), il suffit de prendre un point sur l’une des deux droites et de calculer la distance de ce point à l’autre droite.

Nous pouvons le faire de cette façon car deux lignes parallèles sont toujours à la même distance l’une de l’autre.

D’autre part, si lors de l’utilisation de la formule, nous obtenons une distance de 0 unités, cela signifie que les lignes se touchent à un moment donné et, par conséquent, les lignes ne sont pas parallèles, mais se croisent, coïncident ou perpendiculaires. Si vous le souhaitez, vous pouvez vérifier les différences entre ce type de lignes sur notre site Web.

Donc, pour que vous puissiez voir comment cela se fait, nous allons déterminer la distance entre les deux lignes parallèles suivantes à titre d’exemple :

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

La première chose que nous devons faire est d’obtenir un point sur l’une des lignes (celle que vous voulez). Dans ce cas, nous allons calculer un point sur la droite

$s.$ Pour cela, il faut donner une valeur à une des variables, on fera par exemple $x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

Et maintenant, nous effaçons l’autre variable (

$y$ ) de l’équation obtenue pour savoir combien il vaut à ce point :

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Par conséquent, le point obtenu à partir de la droite

$s$ est:

$P(0,-2)$

Et une fois que nous avons déjà un point sur une ligne, nous calculons la distance de ce point à l’autre ligne en utilisant la formule pour la distance d’un point à une ligne :

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

La distance entre les deux droites parallèles est donc équivalente à 0,45 unités .

Problèmes résolus de lignes parallèles

Exercice 1

Parmi les droites suivantes, lesquelles sont parallèles ?

$\begin{array}{l} r: \ y=2x+3 \\[2ex] s: \ y=3x-2 \\[2ex] q: \ y=2x+6 \\[2ex] t: \ y=-2x-4\end{array}$

voir solution

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente (et des ordonnées différentes à l’origine). Ainsi, la pente de chaque droite vaut :

$m_r = 2$

$m_s = 3$

$m_q = 2$

$m_t = -2$

Donc seules les droites sont parallèles

$r$ et $q,$ car ce sont les seuls à avoir des pentes égales.

Exercice 2

Trouver l’équation explicite de la droite parallèle à la droite

$r$ et ce qui se passe à travers le point $P(0,2).$ être hétéro $r:$

$r: \; y=3x-1$

voir solution

Pour que la droite soit parallèle à la droite

$r,$ les deux doivent avoir la même pente. et la pente de la ligne $r$ est 3 :

$m = 3$

Par conséquent, l’équation explicite de la droite que nous devons trouver sera la suivante :

$y=3x+n$

Et une fois que l’on connaît la pente de la droite, on peut calculer l’ordonnée à l’origine en substituant le point qui appartient à la droite dans l’équation de la droite :

$P(0,2)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=2} \ 2=3\cdot 0 +n$

$2=0+ n$

$2= n$

Donc l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y=3x+2}$

Exercice 3

Calculer la valeur des inconnues

$a$ et $b$ de sorte que les deux droites suivantes soient parallèles :

$r: \ 2x-4y+6=0 \qquad \qquad s: \ x+ay+b=0$

voir solution

Les lignes sont décrites sous forme d’équation générale (ou implicite). Par conséquent, pour que les deux droites soient parallèles, leurs coefficients A et B doivent être proportionnels, c’est-à-dire que l’équation suivante doit être remplie :

$\cfrac{2}{1} = \cfrac{-4}{a}$