Lignes coïncidentes

Vous trouverez ici tout sur les droites coïncidentes : ce qu’elles signifient, comment déterminer si deux droites sont coïncidentes, leurs propriétés,… De plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus de droites coïncidentes.

Quelles sont deux lignes coïncidentes ?

Deux droites coïncidentes sont deux droites qui ont tous leurs points en commun. Par conséquent, deux lignes coïncidentes sont complètement identiques.

Par exemple, ci-dessous, vous avez deux lignes coïncidentes représentées graphiquement, ce qui se passe, c’est que vous n’en voyez qu’une car elles se chevauchent (elles sont égales).

Deux lignes coïncidentes ont toujours la même direction, donc géométriquement elles forment un angle de 0º.

D’autre part, rappelez-vous que dans le plan, il existe 4 possibilités dans le concept de position relative entre deux lignes : deux lignes peuvent être coïncidentes, parallèles , sécantes et perpendiculaires . Si vous le souhaitez, vous pouvez consulter la signification de chaque type de ligne et la différence entre elles dans ces 3 liens.

Comment savoir si deux lignes coïncident ?

Savoir quand deux droites coïncident dépend si l’on travaille avec deux coordonnées (en R2) ou avec trois coordonnées (en R3).

Déterminer deux droites coïncidentes dans le plan

Lorsque nous opérons dans un espace à deux dimensions (2D), il est très facile de voir quand deux droites coïncident et quand elles ne sont pas issues de l’ équation implicite ou de l’ équation explicite de la droite.

En dehors de ces deux manières, on peut aussi vérifier si deux droites coïncident en résolvant le système d’équations formé par les équations des deux droites (si le système donne des solutions infinies cela implique qu’elles coïncident). Mais cette procédure est plus compliquée et longue, nous ne l’expliquerons donc pas en détail car il vaut mieux le faire à partir des coefficients de l’équation implicite ou de l’équation explicite.

De l’équation implicite (ou générale) de la droite

Une façon de savoir si deux lignes coïncident consiste à utiliser l’équation implicite de la ligne, également connue sous le nom d’équation générale ou cartésienne.

L’équation implicite de la droite correspond à l’expression suivante :

$Ax+By+C=0$

Eh bien , si deux droites ont les trois coefficients proportionnels (A, B et C) , cela implique qu’elles coïncident.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Par exemple, les deux lignes suivantes coïncident :

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

Et ils coïncident car les paramètres A, B et C sont proportionnels entre eux :

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

De l’équation explicite de la droite

Une autre méthode pour savoir si deux droites coïncident réellement consiste à utiliser l’équation explicite de la droite. Rappelons que l’équation explicite de la droite est la suivante :

$y=mx+n$

Si deux droites ont même pente (coefficient m) et même ordonnée à l’origine (coefficient n), ce sont deux droites confondues.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Par exemple, les deux droites suivantes sont confondues, car elles ont à l’origine des pentes et des ordonnées équivalentes :

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Il faut noter que si elles avaient la même pente mais ordonnées différemment à l’origine elles seraient des droites parallèles et non coïncidentes.

Enfin, comme vous pouvez le voir dans l’exemple, les deux lignes coïncidentes ont la même équation explicite. Ceci est applicable à tout type d’équation de la droite : si deux droites coïncident dans leur équation, cela signifie qu’elles sont coïncidentes.

trouver deux droites coïncidentes dans l’espace

L’identification de deux lignes coïncidentes dans l’espace (dans R3) est différente de celle dans le plan cartésien (dans R2), car les calculs doivent être effectués avec une coordonnée de plus. Alors, voyons comment c’est fait:

Étant donné les équations de deux lignes différentes dans l’espace:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

Et soit M et M’ les matrices formées par les coefficients des droites :

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Alors, si le rang des matrices M et M’ est égal à 2, les deux droites sont confondues.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Voyons un exemple de droites coïncidentes dans l’espace à travers un exercice résolu pas à pas :

Déterminez si les deux lignes suivantes coïncident ou non :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

La matrice M et la matrice étendue M’ des coefficients des lignes sont :

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Une fois que nous avons construit les deux matrices, nous devons calculer la plage de chaque matrice :

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

Les rangs des deux matrices sont équivalents et, de plus, ils valent 2. Les deux droites sont donc confondues.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Propriétés des lignes coïncidentes

Les lignes coïncidentes ont les caractéristiques suivantes :

Les vecteurs directeurs (vecteur qui indique la direction de la ligne) de deux lignes coïncidentes sont proportionnels et donc linéairement dépendants. Les lignes parallèles ont également cette propriété.

De même, les vecteurs directeurs de deux lignes coïncidentes ont la même direction.

Deux lignes coïncidentes sont représentées sur le graphique par la même ligne.

En ce sens, deux lignes coïncidentes ont toutes des points communs. Et, par conséquent, les points d’intersection avec les axes sont les mêmes.

Évidemment, deux droites coïncidentes sont coplanaires, c’est-à-dire qu’elles sont contenues dans le même plan.

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ElijahTeace
October 30, 2024 at 7:00 pm

Bottega Veneta — это итальянский бренд, известный неповторимым стилем. Основанный в середине 60-х годов, бренд стал символом высококлассной моды и славится стремлением к минимализму. Дизайны бренда отражают искусность и внимательность к деталям, а также превосходное качество материалов.
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