허수

허수 집합 이나 허수 단위에 대해 들어보셨을 것입니다. 실수 에 속하지 않는 숫자를 표현하려는 수학적 필요성에서 비롯된 수학적 개념입니다.

허수란 무엇입니까?

허수는 제곱하면 음수가 되는 숫자입니다. 따라서 이는 음수의 제곱근에 해당하는 값입니다. 예를 들어, 허수 단위(숫자 i)는 -1의 제곱근과 같습니다.

이 숫자는 실수에 속하지 않습니다. 왜냐하면 실수 집합에서는 음수 근을 해결할 수 없기 때문입니다. 상상적 설정의 중요성이 바로 여기에 있습니다. 이 세트는 음의 근을 처리할 수 있고 “해가 없는” 모든 방정식과 이차 문제를 풀 수 있도록 고안되었습니다. 왜냐하면 음의 근을 제공하기 때문입니다.

혼동을 피하기 위해서는 허수와복소수를 구별하는 것이 중요합니다. 복소수는 실수 와 허수 로 구성된 숫자입니다. 따라서 상상은 실제 부분이 없는 복합체의 하위 범주입니다. 다음 표를 보면 차이점을 더 잘 이해할 수 있을 것입니다.

이 디지털 세트의 배치를 완료하기 위해 다음 이미지에서 모든 세트의 구조를 시각화할 수 있습니다. 보시다시피 복소수는 모든 유형의 숫자를 포함하며, 이는 실수와 순수 허수(이 기사에서 다루는 숫자)로 나눌 수 있습니다.

허수의 예

허수단위 (i)로부터 우리는 다른 허수들을 추론할 수 있다. 다음 공식을 적용하면 됩니다.

m = 리

여기서 m은 허수, r은 실수, i는 허수 단위입니다. 다음 이미지에서는 음수 뿌리에서 어떻게 다른 상상을 얻을 수 있는지 볼 수 있습니다.

실제로 이를 다음 표현식으로 추론할 수 있습니다.

허수의 속성

허수에는 매우 흥미로운 속성이 많이 있습니다. 일부는 이 기사의 시작 부분에서 이미 언급했지만 다른 일부는 다음과 같습니다.

• 상상은 현실의 집합에 속하지 않습니다. 왜냐하면 상상은 물리적으로 존재하지 않고 현실에서 표현할 수 없는 숫자이기 때문입니다.
• 이는 음수 근에 해당하는 값입니다.
• 가상의 선에 그래픽으로 표시할 수 있습니다.
• 허수력(이것은 다음 섹션에서 설명할 개념입니다)은 허수값과 관련된 수치 계산을 단순화하는 데 큰 도움이 됩니다.
• 오일러 공식은 허수와 실수를 연결하는 공식입니다.

허수를 이용한 연산

이제 허수의 중요한 특성을 모두 알았으므로 이를 사용하여 연산을 해결하는 방법을 배울 차례입니다. 허수값을 사용 하려면 허수력이라는 한 가지 개념을 고려해야 한다는 점을 제외하고 실제 값을 사용할 때와 동일한 단계를 따라야 합니다.

상상력

허수는 허수 단위를 그 자체로 곱할 때 발생하는 매우 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 즉, 상상의 통일의 힘을 만들 때 이런 일이 발생합니다. 다음 목록과 같이 거듭제곱을 적어보면 패턴을 발견할 수 있습니다.

나는 ⁰ = 1

나 ¹ = 나

나는 ² = 나는 · 나는 = ( √ -1) · ( √ -1) = -1

나는 ³ = 나는 ² 나는 = (-1) 나는 = -i

나는 ⁴ = 나는 ² 나는 ² = (-1) (-1) = 1

이 개념을 알면 어려운 연산을 단순화 하고 조금 더 쉽게 만들 수 있기 때문에 허수 연산을 훨씬 쉽게 해결할 수 있습니다. 또한 이러한 힘의 좋은 점은 무한정 반복된다는 것입니다. 몇 가지 권한을 더 추가하면 이를 확인할 수 있습니다.

나는 ⁵ = 나

나는 ⁶ = -1

나는 ⁷ = -i

나는 ⁸ = 1

등.

그리고 부정적인 힘으로도 이런 일이 일어납니다.

허수를 사용한 산술 연산

다음으로 기본적인 산술연산 각각의 예를 들어보며, 허수 계산이 해결되는 모습을 보실 수 있습니다.

• 허수 더하기: 실수를 더하는 것과 똑같습니다. 단, i를 추가하는 것을 잊지 마세요.

4i + 3i = 7i

• 허수의 뺄셈: 뺄셈도 실제 집합과 같은 방식으로 해결됩니다.

4i – 3i = 나

• 허수의 곱셈: 이 경우 이전에 언급한 허수 곱셈을 염두에 두어야 합니다.

3i 4i = 12 i ² = 12 (-1) = -12

• 허수의 나눗셈: 이러한 유형의 나눗셈에서 우리는 연산을 단순화할 수 있는 허수적 힘을 만날 경우를 대비하여 경계해야 합니다.

12i ¼ 4i = 3

허수를 포함한 방정식

이전에 말했듯이, 실제 집합에서 방정식을 풀 때 때때로 음수 근을 얻게 되므로 방정식에는 “해가 없습니다” . 그러나 이제 우리는 상상을 알았으므로 이러한 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 살펴보겠습니다:

허수는 어디에 사용되나요?

허수는 실제 집합 밖의 값을 표현할 수 있어야 하는 필요성에서 발생합니다. 그렇기 때문에 처음에는 유용한 애플리케이션이 많지 않은 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 진실은 정반대라는 것입니다. 왜냐하면 우리가 그것들을 실제 숫자와 결합하면 복소수를 얻게 되기 때문입니다.

그리고 이것들은 많은 용도로 사용됩니다. 교류를 연구하는 데 사용되며(음수 값을 갖기 때문에) 파동 분야(물리학, 전자 통신 전자 및 양자 역학에 적용됨)에서도 매우 널리 사용됩니다. 다른 많은 용도 중.

또한, 이차 방정식을 풀 때 값이 음수근을 제공하고 연산을 할 수 없는 경우가 종종 발생합니다. 상상을 사용하면 방정식을 풀 수 있습니다 . 그래서 결론적으로 우리는 좀 더 추상적인 지식을 확장할 수 있게 해주는 집합이라고 말할 수 있다.