선의 정규, 분할 또는 대칭 방정식

7월 10, 2023

여기서는 대칭 방정식이라고도 하는 선의 표준(또는 세그먼트) 방정식에 대한 공식이 무엇인지에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한, 예시를 보고 연습 문제를 풀어볼 수도 있습니다. 그리고 직선의 일반(또는 암시적) 방정식에서 표준 방정식이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있습니다.

선의 표준 또는 분절 방정식은 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 선의 분절 방정식 이라고도 하는 선의 표준 방정식은 모든 선을 수학적으로 표현하는 방법입니다. 이를 위해서는 해당 선의 좌표축과의 교차점을 아는 것으로 충분합니다.

한편, 분석 기하학에서는 선의 표준(또는 세그먼트) 방정식을 선의 대칭 방정식 이라고도 합니다.

선의 표준 또는 분절 방정식의 공식

선의 정준 방정식 또는 분절 방정식은 선이 x축과 y축과 교차하는 곳의 값을 알면 결정할 수 있는 선의 대수적 표현입니다.

선이 다음 지점에서 데카르트 축과 교차하는 경우:

X축과의 교차점:

$(a,0)$

Y축과의 교차점:

$(0,b)$

선의 표준(또는 세그먼트) 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

공간 내 선의 분할 또는 대칭 표준 방정식

다음 세 가지 경우에는 직선의 표준(또는 세그먼트) 방정식이 없다는 점에 유의해야 합니다.

선이 수직인 경우, 즉 OY 축과 평행한 경우입니다. 왜냐하면 수직선의 방정식은
$x=k.$
선이 수평인 경우, 즉 OX 축과 평행한 경우입니다. 왜냐하면 수평선의 방정식은
$y=k.$
선이 좌표 원점(점)을 통과할 때
$(0,0)$

), 그러면 직선의 방정식에 두 개의 불확정성이 생기기 때문입니다.

선의 표준 또는 분할 방정식을 찾는 방법의 예

개념을 더 잘 이해할 수 있도록 선의 세그먼트(또는 표준) 방정식 문제를 해결하겠습니다.

다음 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식 또는 분할 방정식을 찾으십시오.

$A(0,4) \qquad \qquad B(-2,0)$

이 경우 선언은 2개의 점을 제공하는 것이 아니라 축과의 두 교차점을 제공합니다.

X축과 선의 교차점:

$(-2,0)$

Y축과 선의 교차점:

$(0,4)$

따라서 우리는 축과의 두 교차점을 이미 알고 있으므로 선의 표준 또는 분할 방정식에 대한 공식을 적용하면 됩니다.

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

마지막으로 매개변수의 값을 대체합니다.

$a$

그리고

$b$

공식에서:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{4}}\bm{= 1}$

이제 선의 표준(또는 세그먼트) 방정식이 무엇인지 알았습니다. 그러나 선을 표현하는 다른 방법도 있다는 것을 알아야 하며, 그 중에서 명시적 방정식이 눈에 띈다. 이러한 유형의 선 방정식은 완전히 이해하기 어렵기 때문에 링크된 페이지에서 이에 대한 모든 내용을 자세히 설명했습니다.

일반 방정식에서 선의 표준 또는 분할 방정식을 계산합니다.

우리는 방금 직선의 표준 방정식 또는 세그먼트 방정식을 결정하는 방법을 살펴보았지만 다른 방법도 있습니다.

직선의 표준 또는 분할 방정식은 동일한 직선의 일반(또는 암시적) 방정식 에서 얻을 수 있습니다.

$Ax+By+C=0$

먼저 계수 C에서 변을 변경합니다.

$Ax+By=-C$

다음으로 전체 방정식을 부호가 변경된 매개변수 C의 값으로 나눕니다.

$\cfrac{Ax+By}{-C}=\cfrac{-C}{-C}$

$\cfrac{Ax}{-C}+\cfrac{By}{-C}=1$

그리고 분수의 속성을 통해 우리는 직선의 표준 또는 부분 방정식에 대한 공식에 도달합니다.

$\cfrac{x}{-\frac{C}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{C}{B}}=1$

따라서 이 공식으로부터 다음 항이 도출됩니다.

$a$

그리고

$b$

직선의 표준 방정식은 다음 표현식과 동일합니다.

$a= -\cfrac{C}{A} \qquad \qquad b= -\cfrac{C}{B}$

라인의 표준 또는 세그먼트 방정식의 문제를 해결했습니다.

연습 1

다음 직선의 좌표축과의 교점은 무엇입니까?

$\cfrac{x}{3}+ \cfrac{y}{-1}= 1$

해결책 보기

연습의 선은 선의 정식 또는 분절 방정식의 형태로 표현됩니다. 공식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

따라서 선이 좌표축과 교차하는 점은 다음과 같습니다.

X축과의 교차점:

$\bm{(3,0)}$

Y축과의 교차점:

$\bm{(0,-1)}$

연습 2

그래프 선의 표준 또는 부분 방정식은 무엇입니까?

평면의 분할 또는 대칭 표준 방정식

해결책 보기

그래프를 통해 선이 좌표축과 교차하는 지점을 알 수 있습니다.

X축과 선의 교차점:

$(5,0)$

Y축과 선의 교차점:

$(0,3)$

따라서 축과의 교차점 2개를 이미 알고 있으면 선의 표준 또는 분할 방정식에 대한 공식을 사용하면 됩니다.

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

마지막으로 매개변수의 값을 대체합니다.

$a$

그리고

$b$

공식에서:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{5}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

연습 3

다음 일반(또는 암시적) 방정식에 의해 결정된 선의 표준 또는 세그먼트 방정식을 계산합니다.

$3x-2y+6=0$

해결책 보기

일반 방정식에서 분할 방정식으로 이동하려면 먼저 방정식의 독립항을 분리해야 합니다.

$3x-2y+6=0$

$3x-2y=-6$

둘째, 전체 방정식을 방정식 우변의 계수로 나눕니다.

$\cfrac{3x-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

위의 표현식은 다음과 동일합니다.

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}=1$

따라서 선의 표준, 세그먼트 또는 대칭 방정식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

연습 4

방향 벡터가 다음과 같은 표준 또는 분할 방정식을 결정합니다.

$\vv{\text{v}}=(4,-3)$

그리고 그 지점을 지나

$P(-1,5).$

해결책 보기

먼저 방향 벡터와 선에 속하는 점으로부터 선의 연속 방정식을 쉽게 찾습니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1} = \cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

$\cfrac{x+1}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

이제 분수를 십자형으로 곱하고 결과 항을 그룹화하여 선의 일반 방정식을 계산해 보겠습니다.

$-3(x+1) = 4(y-5)$

$-3x-3 = 4y-20$

$-3x-3 - 4y+20 =0$

$-3x - 4y+17 =0$

따라서 직선의 일반 방정식을 표준 방정식으로 변환하는 것으로 충분합니다. 이를 위해 먼저 방정식에서 독립 항을 삭제합니다.

$-3x - 4y=-17$

다음으로 전체 방정식을 방정식 오른쪽의 계수로 나눕니다.

$\cfrac{-3x - 4y}{-17}=\cfrac{-17}{-17}$

$\cfrac{-3x}{-17}+\cfrac{-4y}{-17}=\cfrac{-17}{-17}$

위의 표현식은 다음과 동일합니다.

$\cfrac{x}{\frac{-17}{-3}}+\cfrac{y}{\frac{-17}{-4}}=1$

음수를 음수로 나눈 값은 양수입니다.

$\cfrac{x}{\frac{17}{3}}+\cfrac{y}{\frac{17}{4}}=1$

분수는 더 이상 단순화할 수 없으므로 선의 표준, 분절 또는 대칭 방정식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{\bm{x}}{\mathbf{\frac{17}{3}}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\mathbf{\frac{17}{4}}}\bm{= 1}$

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