포물선(수학): 정의, 방정식, 요소, 예,…

이 페이지에서는 포물선에 관한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 포물선이 무엇인지, 무엇을 나타내는지, 요소(초점, 준선, 꼭지점 등), 방정식(다양한 유형의 포물선 방정식 포함), 예제, 풀이 연습문제, 그 속성, 응용 프로그램,…

비유란 무엇입니까?

포물선은 매우 다른 의미를 갖는 개념이지만 수학적 정의는 다음과 같습니다.

수학에서 포물선은 고정점(초점이라고 함)과 고정선(준선이라고 함)으로부터 등거리에 있는 평면 위의 점들의 궤적입니다.

그러므로 포물선의 모든 점은 초점과 준선으로부터의 거리가 같습니다.

또한 기하학에서 포물선은 원주, 타원, 쌍곡선과 함께 원뿔 단면 중 하나입니다. 즉, 원뿔에서 포물선을 얻을 수 있습니다.

특히 포물선은 원뿔 생성기의 각도와 동일한 회전축에 대한 경사각을 갖는 평면에 의한 원뿔 단면에서 발생합니다. 따라서 포물선을 포함하는 평면은 원뿔 생성기와 평행합니다.

포물선의 요소

포물선의 특성은 다음 요소에 따라 달라집니다.

초점(F) : 포물선 내부의 고정점입니다. 포물선의 한 점에서 초점까지의 거리는 같은 점에서 포물선의 준선까지의 거리와 같습니다.
Directrix (D) : 포물선 외부의 고정선입니다. 포물선의 한 점은 준선으로부터의 거리와 포물선의 초점으로부터의 거리가 같습니다.
매개변수(p) : 초점에서 디렉터까지의 거리입니다.
반경 벡터(R) : 포물선의 한 점을 초점에 연결하는 선분입니다. 그 값은 점에서 준선까지의 거리와 일치합니다.
축(E) : 초점을 통과하는 준선에 수직인 선으로 포물선의 대칭축이며, 아래 그래프에서는 컴퓨터 축(Y축)에 해당합니다. 초점축이라고도 합니다.
정점(V) : 포물선과 축 사이의 교차점입니다.
초점거리(Focal length) : 초점과 꼭지점 사이, 준선과 꼭지점 사이의 거리. 그 값은 항상 다음과 같습니다.
$\displaystyle \frac{p}{2}.$

오른쪽

포물선의 오른쪽은 초점을 통과하고 준선과 평행한 포물선 내부의 현입니다.

마찬가지로 우변의 길이는 항상 매개변수 값의 두 배임을 알 수 있습니다.

$p.$

$\lvert LL'\rvert = 2p$

반면, 우변의 끝을 통과하는 포물선에 접하는 두 선은 우변 자체와 45° 각도를 형성하고 포물선의 상단에서도 교차합니다.

포물선 방정식

포물선 방정식은 항상 최소한 1개의 제곱 항을 가져야 하기 때문에 이차 함수의 한 유형입니다. 또한 포물선의 방정식은 수평 또는 수직 방향에 따라 달라집니다.

따라서 분석 기하학에는 포물선을 수학적으로 표현하는 여러 가지 방법이 있습니다. 즉, 표준 방정식 또는 축소 방정식 , 일반 방정식 , 포물선의 일반 방정식이 있습니다.

포물선의 축소 또는 정식 방정식

축소 방정식 또는 정준 방정식이 다른 포물선 방정식과 다른 점은 포물선의 꼭지점이 좌표의 원점 , 즉 점(0,0)이라는 점입니다.

포물선의 축소 방정식의 형태는 수평인지 수직인지에 따라 달라집니다. 4가지 가능한 변형이 표시된 다음 그래픽 표현을 살펴보십시오.

금

$p$

포물선의 특성 매개변수입니다.

이전 이미지에서 볼 수 있듯이 변수 x가 제곱되면 포물선은 수직이고, 반면 변수 y가 제곱되면 포물선은 수평입니다. 반면, 포물선 가지의 방향은 방정식의 부호에 따라 달라집니다.

포물선의 일반 방정식

우리는 포물선의 꼭지점이나 중심이 좌표의 원점(축약 또는 정식 방정식)에 해당할 때 포물선의 방정식이 어떻게 보이는지 살펴보았습니다. 그러나 꼭지점이 ‘원점’ 외부에 있으면 포물선의 방정식은 무엇입니까?

포물선의 정점이 임의의 점인 경우 포물선의 일반 방정식을 사용합니다 . 그 표현은 다음과 같습니다.

$\color{orange} \boxed{\color{black} \quad \vphantom{\frac{1}{2}}(x-x_0 )^2 = 2p (y-y_0) \quad}$

포물선의 중심이나 정점이 점인 곳

$V(x_0,y_0).$

이전 방정식은 수직 방향의 포물선에 해당합니다. 즉, 포물선의 초점 축이 Y 축과 평행합니다.

마찬가지로 수평 방향의 포물선을 정의하려면(초점 축이 X 축과 평행함) 포물선의 일반 방정식에 대한 다음 변형을 사용해야 합니다.

$\color{orange} \boxed{\color{black} \quad \vphantom{\frac{1}{2}} (y-y_0 )^2 = 2p (x-x_0)\quad}$

이전과 마찬가지로 포물선의 중심이나 정점이 점입니다.

$V(x_0,y_0).$

포물선의 일반 방정식

지금까지 우리가 분석한 모든 포물선 방정식은 수평 또는 수직 포물선을 표현하는 데 사용되었습니다. 그러나 분명히 포물선은 기울어지거나 기울어질 수도 있습니다 .

음, 이러한 유형의 포물선을 표현하기 위해 우리는 일반 포물선 방정식을 사용합니다. 공식은 다음과 같습니다.

$\color{orange} \boxed{\color{black} \quad \vphantom{\frac{1}{2}} Ax^2 + Bxy+Cy^2 +Dx+Ey + F = 0 \quad}$

위 방정식은 다음과 같은 경우에만 포물선입니다.

$A$

그리고

$C$

동시에 0이 아니며 다음 조건도 충족됩니다.

$B^2-4AC =0$

방정식에서 포물선의 꼭지점, 초점 및 준선을 찾는 방법의 예

많은 포물선 연습과 문제에서 특정 포물선의 꼭지점, 초점, 준선을 계산해야 합니다. 따라서 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

다음 포물선의 꼭지점, 초점, 준선을 찾으세요.

$x^2 = 4y$

이러한 유형의 포물선 문제를 해결하기 위한 기본적인 방법은 포물선의 매개변수 p를 결정하는 것입니다 . 이 경우 포물선 방정식은 축소 방정식 또는 표준 방정식(수직 포물선)에 해당합니다.

$x^2 = 2py$

따라서 매개변수 p는 다음과 같습니다.

$2p = 4$

$p = \cfrac{4}{2}$

$p = 2$

반면에 포물선은 축소 방정식 또는 표준 방정식을 따르므로 정점 또는 중심이 좌표의 원점에 있음을 의미합니다.

$\bm{V(0,0)}$

포물선의 꼭지점과 매개변수 값을 알면 초점과 준선을 쉽게 찾을 수 있습니다.

방정식의 2차 항은 변수 x 이므로 포물선의 축은 OY 축과 평행하고 실제로 꼭지점은 (0,0) 점이므로 포물선의 축은 OY가 됩니다. 축 자체. 그러면 포물선의 초점은 항상 포물선의 축과 다음 거리에 위치합니다.

$p/2$

포물선 상단부터 좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle F\left(0, \frac{p}{2} \right)$

$\displaystyle F\left(0, \frac{2}{2} \right)$

$\displaystyle \bm{F\left(0,1 \right)}$

마찬가지로, 가이드라인은 멀리 떨어져 있는 수평선이 됩니다.

$p/2$

좌표의 원점인 포물선의 꼭지점으로부터. 따라서 선의 방정식은 다음과 같습니다.

$y=-\cfrac{p}{2}$

$y=-\cfrac{2}{2}$

$\bm{y=-1}}$

결과를 확인할 수 있도록 포물선이 아래 그래프로 표시되었습니다.

포물선의 속성

모든 포물선에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

포물선은 열린 곡선입니다. 즉, 무한히 확장되는 공통점이 없는 두 개의 가지로 구성됩니다.
각 포물선에는 고유한 대칭축이 있으며, 해당 포물선의 정점이 위치합니다.
수직 방향의 포물선은 가지가 위로 올라갈 때 볼록합니다. 반대로 가지가 아래로 내려가면 포물선은 오목해집니다.
포물선의 이심률은 1(1)과 동일합니다. 이심률은 이 경우 초점에서 포물선 중심까지의 거리를 정점에서 준선까지의 거리로 나누어 계산되는 계수입니다(두 거리는 항상 값이 일치합니다).
이전 속성에 따르면 모든 포물선은 유사하거나 유사합니다.
포물선에는 점근선이 없습니다.

포물선 응용

이제 당신은 비유의 의미에 대해 매우 잘 알게 되었으니, 궁금할 것입니다. 비유의 요점은 무엇입니까?

글쎄요, 여러분에게는 그렇게 보이지 않을지라도 포물선의 기하학적 모양은 실생활에서 매우 흔합니다. 예를 들어, 공을 던지면 포물선 운동을 하는 경우가 많습니다. 특히 농구에서는 더욱 그렇습니다. 음, 포물선 방정식은 공이 따르는 포물선 경로를 분석적으로 연구하는 데 매우 유용합니다.

접시의 또 다른 응용 분야는 안테나와 관련이 있습니다(따라서 포물선 안테나라는 이름이 붙음). 대칭축과 평행한 포물선 모양의 물체에 떨어지는 각 광선은 초점을 향해 직접 반사되기 때문에, 즉 포물선 안테나로 가는 모든 광선은 초점에 집중되며 이는 다양한 방식으로 사용될 수 있습니다. 이것이 비유의 초점이 그토록 중요한 이유입니다.

고정된 요리 문제

연습 1

방정식이 다음과 같은 포물선의 꼭지점, 초점 및 준선을 계산합니다.

$y^2 = 8x$

해결책 보기

첫째, 포물선은 포물선의 축소 또는 정규 방정식의 다음 표현을 따르기 때문에 수평이 됩니다.

$y^2 = 2px$

따라서 매개변수 p는 다음과 같습니다.

$2p = 8$

$p = \cfrac{8}{2}$

$p = 4$

반면에 포물선은 축소 방정식 또는 표준 방정식을 따르므로 정점 또는 중심이 좌표의 원점에 있음을 의미합니다.

$\bm{V(0,0)}$

포물선의 꼭지점과 매개변수 값을 알면 초점과 준선을 쉽게 계산할 수 있습니다.

방정식의 이차 항은 변수 이며 , 즉 포물선의 축은 OX 축과 평행하며 실제로 정점이 점 (0,0)이므로 l 포물선의 축은 다음과 같습니다. OX 축 자체. 그러면 포물선의 초점은 항상 포물선의 축과 다음 거리에 위치합니다.

$p/2$

좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$

$\displaystyle F\left(\frac{4}{2},0\right)$

$\displaystyle \bm{F\left(2,0 \right)}$

마찬가지로 가이드라인도 멀다

$p/2$

좌표의 원점이고 초점 축에 수직인 포물선의 꼭지점으로부터. 따라서 방향선의 방정식은 다음과 같습니다.

$x=-\cfrac{p}{2}$

$x=-\cfrac{4}{2}$

$\bm{x=-2}}$

연습 2

방정식이 다음과 같은 포물선의 꼭지점, 초점 및 준선을 구합니다.

$(x-4)^2 = -16(y+1)$

해결책 보기

포물선은 일반 방정식(Y축에 평행한 축)에 따라 정의됩니다. 공식은 다음과 같습니다.

$(x-x_0 )^2 = 2p (y-y_0)$

따라서 매개변수 p는 다음과 같습니다.

$2p = -16$

$p =- \cfrac{16}{2}$

$p =- 8$

반면에, 이 경우 포물선의 일반 방정식은 중심이 좌표의 원점에 있지 않음을 의미합니다. 반면에 포물선 꼭지점의 데카르트 좌표는 부호가 변경된 괄호 안의 숫자입니다. :

$\bm{V(4,-1)}$

포물선의 꼭지점과 매개변수 값을 알면 초점과 준선을 계산할 수 있습니다.

방정식의 2차 항은 포물선의 축이 OY 축과 평행한 변수 x 입니다. 따라서 포물선의 초점은 항상 포물선의 축과 다음 거리에 위치합니다.

$p/2$

포물선의 꼭지점에서 초점 좌표가 꼭지점의 좌표가 되도록 다음을 추가합니다.

$p/2$

수직으로:

$\displaystyle F\left(4,-1+\frac{p}{2}\right)$

$\displaystyle F\left(4,-1+\frac{-8}{2}\right)$

$\displaystyle F\left(4,-1-4\right)$

$\displaystyle \bm{F\left(4,-5 \right)}$

마찬가지로 준선은 멀리 떨어진 수평선이 됩니다.

$p/2$

포물선의 꼭대기에서. 따라서 방향선의 방정식은 다음과 같습니다.

$y=-1-\cfrac{-p}{2}$

$y=-1-\cfrac{-8}{2}$

$y=-1+4$

$\bm{y=3}}$

연습 3

축이 가로축과 평행하고 점 V(5,2)를 정점으로 갖고 초점이 점 P(8,2)인 포물선 방정식을 결정합니다.

해결책 보기

이 경우 포물선의 꼭지점은 좌표의 원점이 아니므로, 명제의 포물선을 정의하기 위해서는 일반적인 방정식이 필요합니다. 또한 포물선의 초점 축은 x축과 평행합니다. 이는 포물선이 수평 방향을 향하게 되므로(가지가 오른쪽이나 왼쪽으로 이동함) 방정식의 2차 항은 변수가 되어야 함을 의미합니다. 와이 :

$(y-y_0 )^2 = 2p (x-x_0)$