▷ 연쇄법칙(도함수): 풀이 연습문제

여기서는 연쇄법칙이 무엇인지, 연쇄법칙을 이용하여 함수를 도출하는 방법에 대해 알아봅니다. 또한 연쇄법칙을 적용한 도함수 풀이의 여러 예를 볼 수 있으며, 연쇄법칙을 적용한 도함수에 대한 단계별 풀이 연습도 할 수 있습니다.

체인 규칙이란 무엇입니까?

체인 규칙은 복합 함수를 유도하는 데 사용되는 공식입니다. 연쇄 법칙에 따르면 복합 함수 f(g(x)) 의 도함수는 도함수 f'(g(x)) 에 도함수 g'(x) 를 곱한 값과 같습니다.

➤ 참조: 복합 함수

비공식적으로 체인 규칙은 함수를 미분한 다음 그 안에 있는 내용을 곱하는 것이라고 흔히 말합니다.

연쇄법칙 공식을 사용하면 복합 함수를 훨씬 더 쉽게 미분할 수 있습니다. 왜냐하면 도함수 정의의 극한을 사용하여 함수의 구성을 미분하려면 많은 계산을 해야 하기 때문입니다.

반면에, 이 규칙은 복합 함수의 도함수를 찾는 데만 사용되며 어떤 유형의 함수나 함수를 사용한 연산에는 사용되지 않는다는 점을 고려해야 합니다. 예를 들어, 매우 흔한 실수는 다음과 같은 기능성 제품에 체인 규칙을 잘못 적용하는 것입니다.

$\ln(x)\cdot x^2$

❌

체인 규칙은 다른 함수 안에 하나의 함수가 있을 때만 사용할 수 있습니다.

$\ln(x^2)$

✅

연쇄법칙을 적용한 도함수의 예

연쇄법칙의 정의가 주어지면, 연쇄법칙을 예로 들어 여러 함수를 도출해 보겠습니다. 예제에서 체인 규칙을 사용하여 함수가 어떻게 파생되는지 이해하지 못하는 경우 댓글로 질문할 수 있습니다.

실시예 1

이 예에서는 체인 규칙을 사용하여 x 제곱의 자연 로그를 유도합니다.

$f(x)=\ln(x^2)$

자연 로그의 도함수는 인수의 1배와 같으므로 도함수는

$f'\bigl(g(x)\bigr)$

BE:

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{u}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{x^2}$

반면, x의 2승 도함수는 2x입니다.

$g(x)=x^2\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=2x$

마지막으로 체인 규칙을 적용하여 전체 함수의 도함수를 계산합니다. 복합 함수의 도함수는 우리가 방금 찾은 두 도함수의 곱이 됩니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x^2}\cdot 2x = \cfrac{2x}{x^2}=\cfrac{2}{x}$

실시예 2

이 두 번째 예에서는 다항식을 기반으로 잠재적인 함수를 도출합니다.

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3$

거듭제곱을 도출하려면 원래 지수를 그 앞에 배치하고 지수에서 한 단위를 빼야 합니다. 따라서 체인 규칙을 적용하지 않은 잠재적 함수의 도함수는 다음과 같습니다.

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2$

이제 우리는 괄호 안의 내용을 추론합니다.

$g(x)=3x^2+4x-5\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=6x+4$

그리고 마지막으로 체인 규칙을 사용하여 전체 함수의 도함수를 구합니다. 이는 이전에 계산된 두 도함수의 곱이 됩니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2\cdot (6x+4)$

실시예 3

이 경우 x 3승 + 7x의 사인 도함수를 구합니다.

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x)$

실제로, 사인 함수 내부에 x ³ +7x 함수가 있기 때문에 이는 함수의 합성이므로 연쇄 규칙을 사용하여 합성 함수의 도함수를 찾을 수 있습니다.

한편으로 사인의 도함수는 코사인이므로 외부 함수의 도함수는 사인과 동일한 인수를 갖는 코사인이 됩니다.

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3+7x)$

반면에 x ³ +7x의 미분은 3x ² +7입니다.

$g(x)=x^3+7x\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2+7$

따라서 복합 함수의 도함수는 두 도함수의 곱입니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3+7x)\cdot (3x^2+7)$

체인 규칙을 사용하여 파생 상품에 대한 연습 문제 해결

연습 1

체인 규칙을 사용하여 다음 복합 함수를 도출합니다.

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3$

솔루션 보기

외부 함수는 잠재적인 함수이므로 해당 도함수를 계산하려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$f\bigl(g(x)\bigr)=a\bigl(g(x)\bigr)^n \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=n\cdot a\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(5x^2-6x\right)^3\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3\left(5x^2-6x\right)^2$

그런 다음 내부 함수의 미분을 계산합니다. 이는 거듭제곱의 뺄셈이므로 파생물을 계산하려면 각 항에 다음 공식을 적용해야 합니다.

$f(x)=ax^n \ \longrightarrow \ f'(x)=n\cdot ax^{n-1}$

$g(x)=5x^2-6x\ \longrightarrow$

$g'(x)=2\cdot 5x^1-1 \cdot 6 x^0 =10x-6$

즉, 복합 함수의 도함수는 발견된 두 도함수의 곱입니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3\left(5x^2-6x\right)^2\cdot (10x-6)}$

연습 2

체인 규칙을 사용하여 다음 복합 함수의 도함수를 풉니다.

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4$

솔루션 보기

먼저, 외부 함수의 미분을 찾습니다.

$\begin{aligned} f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr) & =4 \cdot ( -3) \left(5x^5+9x^3\right)^3 \\[1.5ex]&=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3 \end{aligned}$

이제 내부 함수의 미분을 해결합니다.

$g(x)=5x^5+9x^3\ \longrightarrow \ g'(x)=25x^4+27x^2$

따라서 전체 함수의 미분은 다음과 같습니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3\cdot \left(25x^4+27x^2\right)}$

연습 3

체인 규칙을 사용하여 다음 함수 구성의 미분을 계산합니다.

$f(x)=e^{2x^3}$

솔루션 보기

이는 지수 함수이므로 도함수를 계산하려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$f(x)=e^{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=e^{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= e^{2x^3}$

또한 함수를 함수의 지수와 구별합니다.

$g(x)=2x^3 \ \longrightarrow \ g'(x)=6x^2$

그리고 우리는 정수 복합 함수의 도함수를 찾기 위해 체인 규칙을 사용합니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= e^{2x^3}\cdot 6x^2}$

연습 4

체인 규칙을 사용하여 다음 복합 함수의 도함수를 찾습니다.

$f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x }$

솔루션 보기

비합리함수의 논증에는 정현함수와 선형함수가 있기 때문에 이는 함수의 합성이다. 따라서 먼저 근의 미분을 계산합니다.

$f(x)=\sqrt[n]{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x } \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }}$

이제 우리는 급진파로부터 논증을 도출합니다. 이는 함수의 합이므로 도함수는 각 항의 도함수의 합이 됩니다.

$g(x)=\text{sen}(x) +x \ \longrightarrow \ g'(x)=\cos(x) + 1$

따라서 전체 함수의 도함수는 계산된 두 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x)+x} \ \longrightarrow \ f'(x)& = \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }} \cdot \bigl(\cos(x) + 1 \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{\cos(x) + 1}}{\bm{3\sqrt[3]{\bigl(\mathbf{sen}(x) +x\bigr)^2} }}\end{aligned}$

연습 5

체인 규칙을 사용하여 다음과 같은 함수 구성을 도출합니다.

$f(x)=3^{x^2+5}$

솔루션 보기

연쇄법칙을 적용하려면 거듭제곱과 다항식의 도함수를 구한 후 이를 곱해야 합니다. 따라서 우리는 해당 공식을 사용하여 검정력을 도출합니다.

$f(x)=a^x \ \longrightarrow \ f'(x)=a^x\cdot \ln (a)$

$f\bigl(g(x)\bigr)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3)$

둘째, 지수로부터 다항식 함수를 도출합니다.

$g(x)=x^2+5 \ \longrightarrow \ g'(x)=2x$

그리고 체인 규칙은 전체 함수의 도함수는 우리가 방금 찾은 도함수들의 곱임을 알려줍니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3) \cdot 2x}$

연습 6

$f(x)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr)$

솔루션 보기

분명히, 이 문제의 함수는 합성 함수입니다. 왜냐하면 자연 로그의 논증에서 우리는 두 가지 다른 유형의 함수의 곱을 가지기 때문입니다. 따라서 먼저 로그를 미분합니다.

$f(x)=\ln(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) }$

둘째, 로그 인수로부터 함수를 도출합니다. 이는 두 함수의 곱셈이므로 파생을 수행하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$z(x)=f(x) \cdot g(x) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)$

$\begin{aligned}g(x)=4x^2 \cdot \cos(x) \ \longrightarrow \ g'(x) & = 8x\cdot \cos(x) + 4x^2 \cdot \bigl(- \text{sen}(x)\bigr) \\[2ex] & = 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x)\end{aligned}$

따라서 체인 규칙에 따라 전체 함수의 도함수는 두 도함수의 곱이 됩니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) } \cdot \bigl( 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x) \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot\text{sen}(x)}{4x^2 \cdot \cos(x)}\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{2\cos(x) - x \cdot }\mathbf{sen}\bm{(x)}}{\bm{x \cdot \cos(x) }}\end{aligned}$

연습 7

체인 규칙을 사용하여 다음 함수의 미분을 풉니다.

$f(x)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7)$

솔루션 보기

이는 함수의 구성이므로 로그와 그 인수를 별도로 미분한 후 도함수를 곱해보겠습니다.

따라서 먼저 로그를 밑수 9로 미분합니다.

$f(x)=\log_a (x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot \ln (a)}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}$

이제 우리는 로그 인수의 미분을 계산합니다. 숫자 e는 인수에 함수를 가지고 있습니다. 즉, 복합 함수이므로 이 함수를 파생하려면 연쇄 규칙도 적용해야 합니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$h(x)=e^{x^2} \ \longrightarrow \ h'(x)=e^{x^2}\cdot \bigl(x^2\bigr)' =e^{x^2}\cdot 2x$

따라서 로그의 정수 인수의 미분은 다음과 같습니다.

$g(x)= e^{x^2}-6x^7\ \longrightarrow \ g'(x)=e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6$

그리고 마지막으로 전체 함수의 도함수는 f'(g(x))와 g'(x)의 곱이 됩니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)} \cdot \bigl(e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6\bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6}}{\bm{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}}\end{aligned}$

연습 8

체인 규칙을 사용하여 다음 복합 함수를 도출합니다.

$f(x)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

솔루션 보기

이번 연습에서는 여러 함수로 구성되어 있으므로 체인 규칙을 여러 번 적용해야 합니다. 먼저 사인으로부터 삼각함수를 도출합니다. 그 도함수는 코사인입니다.

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cos\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

이제 체인 규칙을 사용하여 사인 인수의 미분을 계산합니다.

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned} g(x)= \Bigl( 9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \cdot g'(x) &= 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)' \\[1.5ex]&=2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-\text{sen}(x)\Bigr)\end{aligned}$