큐브의 합 - 수학

이 페이지에서는 큐브의 합 공식과 큐브의 합을 인수분해하는 방법에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한, 세제곱합에 대한 몇 가지 예와 해결 연습을 볼 수 있습니다.

큐브의 합은 얼마입니까?

세제곱의 합은 두 항이 양수이고 더욱이 그 삼차근이 정확한 이항식(단항식이 두 개인 다항식)입니다. 따라서 세제곱의 합에 대한 대수식은 a ³ +b ³ 입니다.

또한, 완벽한 큐브의 합은 주목할 만한 제품(또는 주목할 만한 아이덴티티)에 해당하는데, 이는 많은 계산을 하지 않고도 직접 해결할 수 있는 공식이 있다는 것을 의미합니다. 다음으로 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

큐브의 합 공식

세제곱합의 수학적 정의를 살펴봤으면 이제 세제곱합의 공식이 무엇인지 살펴보겠습니다.

따라서 두 세제곱 항의 합은 이 두 항의 합에 첫 번째 항의 제곱을 곱하고 두 양의 곱을 뺀 다음 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다.

따라서 완전 세제곱의 합 공식을 적용할 때 실제로는 다항식을 인수분해하는 것입니다. 왜냐하면 다항식의 표현식을 두 인수의 곱으로 변환하기 때문입니다. 다항식을 인수분해하는 것이 무엇을 의미하는지 여전히 확실하지 않은 경우 계속하기 전에 다항식을 인수분해하는 방법을 살펴보는 것이 좋습니다.

큐브의 합을 인수분해하는 예

완전 세제곱합의 개념을 완전히 이해하기 위해 공식을 사용하여 세제곱합을 인수분해하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

공식을 사용하여 다음 큐브 합계를 인수분해합니다.

$x^3+8$

실제로, 단항식의 세제곱근은 세제곱의 합입니다.

$x^3$

정확하며(십진수를 제공하지 않음) 숫자 8도 마찬가지입니다.

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

따라서 세제곱의 합 공식을 적용하여 삼차 표현식을 이항식과 삼항식의 곱으로 변환할 수 있습니다.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

그리고 마지막으로 곱셈과 거듭제곱을 풀어야 합니다.

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

얻은 표현식을 자세히 살펴보면 세제곱합 공식 덕분에 다항식의 근을 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 경우 다항식의 근 중 하나는 다음과 같습니다.

$x=-2.$

그러나 다항식의 모든 근(또는 0)을 찾으려면 더 복잡한 절차를 따라야 합니다. 링크된 페이지에서 방법을 알아보세요.

실시예 2

완전 세제곱의 합 공식을 적용하여 다음 이항식을 인수분해합니다.

$8x^3+1$

이 예의 다항식은 또한 단항식의 세제곱근이기 때문에 세제곱의 합으로 구성됩니다.

$8x^3$

독립항 1에서 정확함은 다음과 같습니다.

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

따라서 완전 세제곱의 합 공식을 사용하여 표현을 단순화할 수 있습니다.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

마지막으로 결과 작업을 계산합니다.

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

이제 큐브의 합을 구하는 방법을 살펴보았으므로 큐브의 차이를 인수분해하는 방법을 알고 싶을 수도 있습니다. 왜냐하면 세제곱의 차 공식은 비슷하지만, 세제곱의 합과 차를 구별할 수 있게 해주는 작은 변화가 있기 때문입니다. 이 중요한 변화가 무엇으로 구성되어 있는지, 큐브 빼기가 어떻게 계산되는지 확인할 수 있도록 이 링크를 남겨드립니다.

큐브 문제의 해결

연습 1

공식을 사용하여 다음 큐브 추가를 고려하십시오.

$x^6+27x^3$

해결책 보기

다항식의 두 요소의 세제곱근이 정확하기 때문에 표현식은 세제곱의 합에 해당합니다.

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

그러므로 우리는 완전 세제곱의 합에 대한 공식을 사용하여 삼차 표현을 이항식과 삼항식의 곱으로 인수분해할 수 있습니다.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

이를 통해 우리는 인수분해된 다항식을 찾기 위해 모든 연산을 해결합니다.

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

연습 2

각 제품을 큐브의 합으로 표현합니다.

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

해결책 보기

3가지 연습문제의 표현식은 세제곱합 공식을 따르므로 다항식의 곱셈을 푸는 데 충분합니다.

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

주목할만한 신원에 더 관심이 있다면 많은 사람들이 잊어버리는(그리고 많이 사용되는) 신원이 있다는 것을 알아두십시오. 하지만 삼항식 제곱 이라고 불리는 이 놀라운 항등식의 공식을 기억하는 것이 중요합니다. 이것이 바로 이것이 무엇인지, 그리고 이 공식이 어떻게 적용되는지 볼 수 있는 링크를 남겨두는 이유입니다.

큐브의 합은 얼마입니까?

큐브의 합 공식

큐브의 합을 인수분해하는 예

실시예 1

실시예 2

큐브 문제의 해결

연습 1

연습 2

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