어원적으로 쿼터니언 또는 쿼터니언은 라틴어 quaterni 에서 유래합니다. 스페인어로 이 단어는 “4명씩”으로 번역됩니다. 그러나 해석은 “4개 요소의 수”를 의미합니다.
쿼터니언은 William Rowan Hamilton이 처음 만든 비순열 필드의 요소입니다. 쿼터니언은 초복소수를 구성하는 실수의 확장으로 정의됩니다. 실제로 이는복소수 와 매우 유사합니다.
즉, 유추적으로 발생한 증폭으로 인해 쿼터니언이 발생합니다. 반면, 복소수는 허수 단위 i 의 합으로 실수를 확장하여 생성되므로 i 제곱은 -1과 같습니다. 첫 번째 경우에는 허수 단위 k , i 및 j가 실수에 추가됩니다.
그러므로 쿼터니언에 관해서는 다음과 같습니다: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. 이 표현은 Cayley의 표 에 정리된 표현과 일치합니다. 이 시점에서 i , j , k 및 1이 쿼터니언의 네 가지 기본 기둥이라는 점을 언급할 가치가 있습니다.
| × | 1 | 에야디야 | 제이 | 무엇 |
| 1 | 1 | 에야디야 | 제이 | 무엇 |
| 에야디야 | 에야디야 | -1 | 무엇 | -제이 |
| 제이 | 제이 | -케이 | -1 | 에야디야 |
| 무엇 | 무엇 | 제이 | -에야디야 | -1 |
윌리엄 해밀턴(William Hamilton)은 벡터를 곱하고 나누고, 회전하고, 늘릴 수 있는 방법으로 1843년에 쿼터니언을 발명했습니다.
쿼터니언은 어떻게 만들어지나요?
쿼터니언은 각 객체가 4개의 변수를 포함하는 아름다운 대수학을 형성합니다. 실제로, 오일러 각도와 혼동해서는 안 되는 오일러 매개변수라고도 합니다. 이러한 객체는 일반 숫자의 대수와 유사한 방식으로 단일 단위로 더해지고 곱해질 수 있습니다.
그러나 차이점이 있습니다. 수학적으로 쿼터니언 곱셈은 교환 가능하지 않습니다.
쿼터니언에는 4차원이 있습니다. 각 쿼터니언은 4개의 스칼라 숫자 , 실수 차원, 3개의 허수 차원으로 구성됩니다. 이러한 가상 치수 각각은 -1의 제곱근 단위 값을 갖습니다. 그러나 이들은 i , j 및 k 라고 하는 서로 수직인 -1의 서로 다른 제곱근입니다. 따라서 쿼터니언은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
x = (a, b, c, d) x = a + bi + cj + dk로 작성됨
따라서 a, b, c 및 d는 각 쿼터니언에 의해 명확하게 정의된 실수를 나타냅니다. 반면에 숫자 1, i , j , k 는 기본이다. 집합을 사용하여 쿼터니언을 표현하려면 다음을 수행할 수 있습니다. IR 4가 집합을 나타낸다고 가정하면 표현식은 다음과 같습니다. IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
이 세트는 실제 4차원 공간과 일치합니다. 실수의 집합이 1차원의 공간에 해당하고, 복소수의 집합이 2차원의 공간에 해당하는 것과 같습니다.
쿼터니언의 대수적 구조는 무엇입니까?
쿼터니언은 불규칙한 몸체를 나타냅니다. 이는 필드(field)와 유사한 대수적 구조라는 것을 의미합니다. 그러나 곱셈에서는 교환성이 없습니다. 즉, 신체의 모든 특성을 충족하지만 그 결과는 교환적이지 않습니다.
쿼터니언 곱셈은 연관적입니다. 또한 0이 아닌 각 쿼터니언은 고유한 역수를 갖습니다. 쿼터니언은 복소수에 비해 연관 대수를 구성하지 않습니다.
마지막으로 복소수와 실수가 단위 또는 이중 공간의 유클리드 벡터 차원을 나타내는 것과 같은 방식으로 쿼터니언은 4차원 유클리드 벡터 영역을 생성합니다.
쿼터니언은 행렬에서 어떻게 표현되나요?
행렬 표현은 쿼터니언의 특징이기도 합니다. 이 경우 표현을 위해 수학적 행렬이 적용됩니다. 예를 들어, 쿼터니언 p = a + bi + cj + dk가 있는 경우 이를 다음과 같이 복소수 2 x 2 행렬로 표현할 수 있습니다.
쿼터니언에서 행렬 표현을 사용하는 또 다른 방법은 실수 4 x 4 행렬을 사용하는 것입니다. 또한, 행렬을 사용하여 쿼터니언을 표현함으로써 두 벡터의 내적(inner product)으로 표현하는 것이 가능합니다. 따라서 한 구성요소는 = (a1, a2, a3, a4)이고 다른 구성요소는 {1, i, j, k }입니다.
이 경우, 실제 컴포넌트를 생성하는 요소 a 1 은 별도로 작성됩니다. 또한 스칼라 곱의 경우 세 가지 염기 i, j, k 만 고려됩니다.
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
쿼터니언으로 수행할 수 있는 기본 작업은 무엇입니까?
하나의 쿼터니언과 다른 쿼터니언 사이의 곱을 더하고 얻으려면 복소수 산술이 적용됩니다. 이는 이전 IR 4 세트 의 경우와 동일하게 작동합니다. 즉, 상기 세트와 나머지 작업이 신체의 모든 특성을 보상한다는 의미입니다. 이 경우 유일한 관련성은 제품이 통근하지 않는다는 것입니다.
추가되는 경우에는 학기별로 진행됩니다. 어쨌든 복소수와 동일하게 작동합니다. 즉, 다음과 같습니다.
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
제품의 경우 컴포넌트에서 컴포넌트로 적용됩니다. 이에 따르면 다음과 같습니다.
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
이전에 이미 지적했듯이 쿼터니언의 곱은 결코 교환 가능하지 않습니다. 반대로 항상 연관되어 있습니다 . 이전에 자세히 설명한 작업은 표현을 교체하여 수행할 수 있습니다.
쿼터니언의 응용은 무엇입니까?
쿼터니언은 수학적 조사 그 이상입니다. 현재 그들은 다양한 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 첫째, 정수론 의 답을 확인하는 데 사용됩니다. 이에 대한 예는 모든 자연수는 4개의 완전제곱수의 합으로 표현된다는 라그랑주의 정리입니다.
반면에 물리학 분야에도 적용이 가능합니다. 쿼터니언은 양자 역학, 전자기학 등에 매우 유용합니다.