방정식 시스템은 둘 이상의 미지수를 갖는 둘 이상의 방정식 세트입니다. 따라서 시스템을 해결하기 위해 대체, 등화, 축소 및 그래프의 네 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 그러나 솔루션 절차를 설명하기 전에 솔루션 수에 따라 존재하는 시스템 유형을 정의합니다.
- 결정된 호환 시스템: 하나의 해만 가지며 단일 지점(해)에서 교차하는 두 개의 선으로 표시될 수 있습니다.
- 불확정 호환 시스템: 무한한 해를 갖고 있으며 이는 동일한 점에서 일치하는 두 개의 선이 있다는 사실 때문입니다.
- 호환되지 않는 시스템: 선이 평행하고 공통점이 없기 때문에 솔루션이 없습니다.
선형 방정식 시스템을 푸는 방법
이제 방정식 시스템을 풀기 위해 사용할 수 있는 다양한 시스템을 설명하겠습니다. 설명에서 이론과 몇 가지 예를 찾을 수 있으므로 설명된 모든 개념이 더 명확해집니다. 이 기사에서는 2×2 방정식 시스템 에 대해서만 설명합니다. 이는 단순히 두 방정식으로 구성된 시스템을 다룰 것임을 의미합니다. 즉, 설명부터 시작하겠습니다.
대체 방법
대체 방법은 방정식 중 하나에서 미지수 중 하나를 분리한 다음 얻은 식을 반대 방정식에 대체하는 것으로 구성됩니다. 이 방법은 미지수 중 하나 이상이 계수 값이 1일 때 가장 권장됩니다. 따라서 따라야 할 단계는 매우 간단합니다.
- 두 방정식 중 하나에서 알 수 없는 수량을 분리합니다.
- 첫 번째 방정식에서 제거한 미지수에 해당하는 표현식을 다른 방정식으로 대체합니다.
- 우리가 얻은 방정식에서 반대쪽 미지수를 지웁니다.
- 첫 번째 변수의 값을 얻은 후에는 이를 사용하여 두 번째 변수를 찾아야 합니다.
균등화 방법
일치 방법은 두 방정식에서 동일한 변수를 분리한 다음 얻은 두 표현식을 일치시키는 것으로 구성됩니다. 이 방법은 전체 계산을 더 쉽게 만들어 주므로 두 방정식에서 동일한 미지수를 쉽게 분리할 수 있는 경우 권장됩니다. 이 경우 따라야 할 절차는 다음과 같습니다.
- 우리는 두 방정식에서 선택한 미지수를 분리합니다.
- 우리는 이 미지의 것과 동등한 표현을 동화시킵니다.
- 우리는 방정식을 정상적으로 푼다.
- 우리가 계산한 값으로 다른 미지수를 계산합니다.
감소 방법
축소 방법은 두 방정식에 두 개의 숫자를 곱하는 것을 기반으로 하며, 이를 통해 두 표현식에서 변수 중 하나의 부호가 다른 동일한 계수를 얻을 수 있습니다. 이 방법은 모든 방정식에서 동일한 미지수가 동일한 계수를 갖거나 반대 부호의 동일한 계수를 갖는 경우에 가장 권장됩니다. 그리고 해결절차는 다음과 같습니다.
- 두 방정식에 필요한 숫자를 곱합니다(두 방정식의 두 변수 중 하나에 대해 동일한 계수를 얻을 수 있지만 부호는 반대인 두 숫자를 찾아야 합니다).
- 그런 다음 방정식을 빼거나 추가하여 해당 계수로 이 미지수를 제거합니다.
- 그러면 나머지 방정식이 풀립니다.
- 그리고 우리는 이 방정식의 결과를 사용하여 다른 변수에서 누락된 수치 값을 얻습니다.
그래픽 방법
마지막으로, 그래픽 표현을 통해 방정식 시스템을 풀도록 선택할 수 있습니다. 이 방법은 복잡한 수학적 부분이 없고 거의 전적으로 그래픽이라는 점에서 다른 방법과 상당히 다릅니다. 따라서 미지수의 값을 알려면 선 방정식의 형태로 두 방정식을 구성해야 합니다: y = mx + b . 이런 식으로 우리는 표현을 할 수 있을 것이고, 두 함수 사이의 절단점 좌표 값을 미지수와 연관시킬 것입니다. 다음은 실제 예시입니다:
그래프에서 볼 수 있듯이 두 함수 사이의 구분점은 (0, -3)입니다. 따라서 x의 값은 0이고 y의 값은 -3입니다. 이것이 방정식 시스템이 그래픽으로 해결되는 방법입니다.
이차 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?
이차 방정식 시스템을 풀기 위해 방금 논의한 방법을 사용할 수 있습니다. 개인적으로 우리는 단일 미지수로 방정식을 빠르게 구할 수 있기 때문에 대체 방법을 권장하고 싶습니다. 반면에 축소 또는 균등화 방법을 사용하면 계산이 상당히 복잡해집니다. 따라서 두 변수 중 하나를 대입하면 결과로 나온 이차방정식 또는 이차방정식 만 풀면 됩니다. 다음은 전체 프로세스를 볼 수 있는 예입니다.
연립방정식 풀기 연습
이제 설명된 이론을 적용할 수 있도록 선형 및 2차 방정식 시스템에 대한 몇 가지 연습을 제공합니다. 이렇게 하면 방정식 시스템 계산과 관련된 모든 개념을 더 잘 이해할 수 있습니다. 우리가 제공하는 답변을 보기 전에 문제를 풀어보는 것이 좋습니다. 이렇게 하면 연습을 최대한 활용할 수 있습니다.
연습 1
대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 방정식에서 두 개의 미지수 중 하나를 분리하는 것부터 시작합니다.
- 그런 다음 반대 방정식에서 얻은 식을 이전에 풀었던 미지수로 대체합니다.
- 그런 다음 반대 변수의 결과를 얻습니다.
- 다음으로, 처음 발견된 값을 두 방정식 중 하나에 대입하여 첫 번째 미지수의 값을 계산합니다.
- 마지막으로 두 변수의 결과를 표현합니다.
연습 2
대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 이 경우 동일한 절차를 따릅니다. 즉, 미지수를 분리하고 이를 다른 표현식에 대체한 다음 두 번째 변수를 분리합니다.
- 우리가 볼 수 있듯이 이것은 무한히 많은 솔루션을 가지고 있기 때문에 불확실한 호환 시스템입니다.
연습 3
균등화 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 첫 번째 단계는 두 방정식에서 동일한 변수를 분리하는 것입니다. 이 경우 x를 선택했습니다.
- 그런 다음 결과 표현식을 일치시키고 해결을 시작합니다.
- 따라서 우리는 첫 번째 미지수의 값을 얻습니다.
- 그리고 이를 두 개의 원래 방정식 중 하나로 대체하면 두 번째 미지수를 계산할 수 있습니다.
- 마지막으로 두 변수의 결과를 표현합니다.
연습 4
균등화 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 먼저, 두 방정식 모두에서 x를 분리합니다.
- 다음으로 얻은 표현식을 일치시킵니다.
- 우리는 첫 번째 미지수의 값을 얻습니다.
- 이 값을 두 개의 초기 방정식 중 하나로 대체하고 두 번째 미지수를 계산합니다.
- 마지막으로 두 낯선 사람의 가치를 표현한다.
연습 5
축소 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 두 방정식의 두 변수 중 하나에 대해 동일한 계수를 얻을 수 있지만 부호는 반대인 두 숫자를 찾아야 합니다.
- 그런 다음, 얻은 두 식을 더하여 얻은 방정식을 간단히 풀어보세요.
- 다음으로, x를 계산하기 위해 y를 두 개의 원래 방정식 중 하나에 대체합니다.
- 마지막으로 시스템의 결과를 표현합니다.
연습 6
축소 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 방정식을 정리하는 것부터 시작합니다(모든 변수를 왼쪽으로 전달).
- 그런 다음 첫 번째 방정식에 -5를 곱합니다.
- 두 방정식을 더하여 얻은 방정식을 풀고 x 값을 얻습니다.
- 우리는 이 알려진 값을 사용하여 y 값을 얻습니다.
- 우리는 방정식 시스템의 결과를 표현합니다.
연습 7
대체 방법을 사용하여 다음 연립방정식을 풉니다.
- 이 비선형 방정식 시스템을 풀려면 대체 방법을 사용하는 것이 좋습니다.
- 따라서 x에 해당하는 표현식을 사용하여 방정식을 구성합니다.
- 알려지지 않은 y의 값을 얻습니다.
- 이전에 계산한 값으로 x 값을 계산합니다.
- 그리고 이미 두 가지 값이 모두 있습니다.
연습 8
원하는 방법을 사용하여 이 연립방정식을 풀어보세요.
- 이 경우 결정된 호환 시스템이 제공되며 등화 방법을 사용하여 이를 해결합니다.
- 따라서 두 방정식 모두에서 x를 풀고 두 결과 표현식을 동일하게 설정합니다.
- 방정식을 풀면 y 값을 얻습니다.
- 이 값을 사용하여 x 값을 찾습니다.
- 마지막으로 시스템의 결과를 표현합니다.