선과 평면의 상대적 위치

이 페이지에서는 선과 평면의 상대적 위치를 찾을 수 있습니다. 선과 평면 사이의 상대적 위치를 계산하는 방법(2가지 방법)을 설명하고, 추가로 예제와 연습문제를 단계별로 풀어볼 수 있습니다.

선과 평면 사이의 상대적 위치는 무엇입니까?

선과 평면 사이의 가능한 모든 상대적 위치를 살펴보기 전에 우리는 선이 무엇인지 , 평면이 무엇인지 분명히 알아야 합니다. 따라서 이 두 가지 개념이 아직 명확하지 않다면 먼저 자세히 설명되어 있는 링크된 페이지를 살펴보는 것이 좋습니다.

따라서 분석 기하학에서는 선과 평면 사이의 공간에 세 가지 상대 위치만 있습니다.

평면에 포함된 선 : 선이 평면에 포함되어 있으면 공통점이 무한하다는 의미입니다.
평행선과 평면 : 선과 평면은 공통점이 없을 때 평행합니다.
선과 평면의 교차 : 선이 평면과 한 점에서 교차할 때 선과 평면이 교차합니다. 그래서 이들의 공통점은 딱 하나입니다.

반면에 선이 평면에 포함되거나 서로 평행할 경우 두 선이 이루는 각도는 0°가 됩니다. 반면, 선과 평면이 교차하는 경우 두 기하학적 요소 사이의 각도는 0°(포함되지 않음)부터 90°(포함)까지 가능합니다.

선과 평면의 상대적 위치를 계산하는 방법은 무엇입니까?

공간에서 선과 평면 사이의 상대 위치를 찾는 방법에는 주로 범위 또는 벡터의 두 가지 방법이 있습니다.

선이 암시적(또는 일반) 방정식으로 표현되는 경우 순위 방법을 사용하는 것이 더 쉽습니다. 반면, 직선이 다른 유형의 방정식으로 주어지는 경우(예: 벡터, 매개변수 또는 연속 방정식의 형태인 경우) 벡터 방법을 사용하는 것이 더 빠릅니다.

선의 방정식이 어떻게 생겼는지 기억나지 않는 경우 선의 모든 방정식을 참조할 수 있는 페이지를 남겨드립니다. 여기에서는 선의 모든 방정식, 두 점을 통과하는 선의 방정식을 빠르게 찾는 공식, 단계별로 해결되는 예제 및 연습 문제를 찾을 수 있습니다.

따라서 문제에 따라 한 가지 방법 또는 다른 방법을 사용하는 것이 더 실용적이므로 두 절차를 모두 수행하는 방법을 아는 것이 좋습니다. 다음은 예제와 함께 두 가지 방법에 대한 설명입니다.

직선이 암시적(또는 일반) 방정식의 형태인 경우

선과 평면 사이의 상대적 위치를 결정하는 한 가지 방법은 두 행렬의 순위를 계산하는 것입니다.

선이 암시적(또는 일반) 방정식으로 정의되는 경우:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$

그리고 계획은 일반 방정식의 형태로도 표현됩니다.

$\pi : \ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0$

평면과 직선 방정식의 계수 A, B, C로 구성된 행렬을 A라고 하겠습니다.

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex] A_2&B_2&C_2\\[1.1ex] A_3&B_3&C_3\end{pmatrix}$

그리고 행렬 A’는 두 방정식의 모든 계수를 포함하는 확장된 행렬이 됩니다.

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1\\[1.1ex] A_2&B_2&C_2&D_2\\[1.1ex] A_3&B_3&C_3&D_3\end{pmatrix}$

그런 다음 선과 평면 사이의 상대 위치는 다음 표에 따라 이전 두 행렬의 범위 값에 의해 결정됩니다.

상대 위치가 이 두 행렬의 순위에 따라 달라지는 것은 Rouche-Frobenius toerem(선형 방정식 시스템을 해결하는 데 사용되는 정리)에서 확인할 수 있습니다. 그러나 이 페이지에서는 알 필요도 없고 많은 정보를 제공하지 않기 때문에 데모를 수행하지 않습니다.

범위별로 선과 평면의 상대적 위치를 찾는 방법의 예

이것이 어떻게 수행되는지 정확히 볼 수 있도록 예제를 통해 연습 문제를 풀어보겠습니다.

다음 선과 다음 평면 사이의 상대적 위치를 연구합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases}2x+y+z+3=0 \\[2ex] 4x-y+5z+2=0\end{cases}$

$\pi : \ 2x+2y-6=0$

선은 두 개의 교차하는 평면으로 정의됩니다. 즉, 암시적 방정식으로 표현됩니다. 따라서 우리는 선과 평면 사이의 상대적 위치를 연구하기 위해 순위 방법을 사용할 것입니다.

가장 먼저 해야 할 일은 방정식의 계수를 사용하여 행렬 A와 확장 행렬 A’를 구성하는 것입니다.

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&1&1\\[1.1ex] 4&-1&5\\[1.1ex] 2&2&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&1&1&3\\[1.1ex] 4&-1&5&2\\[1.1ex] 2&2&0&-6\end{pmatrix}$

이제 각 행렬의 순위를 계산해야 합니다. 먼저 행렬식에 따라 행렬 A의 범위를 찾습니다.

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1\\[1.1ex] 4&-1&5\\[1.1ex] 2&2&0\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1\\[1.1ex] 4&-1\end{vmatrix} =-6 \neq 0$

$rg(A) = 2$

행렬 A의 행렬식은 0이지만 행렬식이 0과 다른 2×2 부분행렬을 포함하므로 랭크 2의 행렬입니다.

한편, 행렬 A’의 랭크를 계산하는 것도 필요하다. 그리고 확장 행렬 A’의 범위는 항상 행렬 A의 범위와 적어도 동일하므로 순위가 3인지 2인지 확인하면 됩니다.

$rg(A') = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&3\\[1.1ex] 4&-1&2\\[1.1ex] 2&2&-6\end{vmatrix} =62 \neq 0$

$rg(A') = 3$

반면, 확장 행렬 A’는 0과 다른 3×3 하위 행렬식을 가지므로 순위 3입니다.

따라서 행렬 A는 랭크 2이고 행렬 A’는 랭크 3이므로 선과 평면은 평행합니다 .

직선이 다른 유형의 방정식 형태인 경우

벡터방정식, 매개방정식, 연속방정식 등 암시적 방정식이 아닌 다른 방정식으로 선을 표현하는 경우에는 아래에서 설명하는 방법을 사용하는 것이 바람직합니다.

따라서 선이 벡터 방정식, 매개변수 방정식 또는 연속 방정식의 형태로 제공되면 선에 속하는 점과 방향 벡터를 알고 있음을 의미합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}_r \\[2ex] P\end{cases}$

반면에, 우리는 평면에 대한 법선(또는 수직) 벡터가 무엇인지도 알고 있습니다.

$\vv{n} \perp \pi$

그런 다음 2개의 벡터와 선의 점으로부터 선과 평면 사이의 상대 위치를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

선의 방향 벡터와 평면에 수직인 벡터 사이의 스칼라 곱이 0과 다른 경우 이는 선이 평면에 대해 분할됨을 의미합니다.

$\vv{\text{v}}_r\cdot \vv{n} \neq 0 \ \color{orange}\longrightarrow \color{black} \ \text{recta y plano secantes}$
그러나 선의 방향 벡터와 평면에 수직인 벡터 사이의 스칼라 곱이 0과 같으면 두 가지 가능성이 있습니다. 선이 평면에 포함되어 있거나 평행합니다. 그리고 어떤 경우인지 알기 위해서는 선 위의 한 점의 좌표를 평면의 방정식에 대입해야 합니다.
- 점이 평면의 방정식을 만족하면 선은 평면에 포함됩니다.
- 반면, 점이 평면의 방정식을 만족하지 않으면 선과 평면은 평행합니다.

벡터를 이용하여 선과 평면의 상대적 위치를 구하는 예

이 방법의 이론을 살펴보았으면 이제 단계별로 해결되는 연습을 살펴보겠습니다.

다음 선과 다음 평면 사이의 상대 위치를 찾습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=2-3t \\[1.7ex] y=-1+2t \\[1.7ex] z=-2t\end{cases}$

$\pi : \ 2x+y-2z-3=0$

먼저, 선은 매개변수 방정식으로 정의되므로 방향 벡터와 선이 통과하는 점은 다음과 같습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}_r =(-3,2,-2) \\[2ex] P(2,-1,0) \end{cases}$

반면에 평면에 수직인 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{n} =(2,1,-2)$

선의 방향 벡터와 평면에 수직인 벡터를 알고 나면 둘 사이의 스칼라 곱을 계산해야 합니다.

$\begin{aligned} \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n} & = (-3,2,-2) \cdot (2,1,-2) \\[2ex] & = -3 \cdot 2+2 \cdot 1 -2\cdot (-2) \\[2ex] &= -6 +2 +4 \\[2ex] & = 0\end{aligned}$