선 방정식 -

여기에서는 선의 모든 유형의 방정식에 대한 공식을 찾을 수 있습니다. 또한, 계산 방법에 대한 예를 볼 수 있을 뿐만 아니라 선의 방정식을 풀어서 연습할 수도 있습니다.

직선의 방정식은 모두 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 평면(R2)의 직선을 분석적으로 표현하려면 직선의 방정식을 사용하고 이를 찾으려면 직선에 속하는 점과 해당 직선의 방향 벡터만 있으면 됩니다. 이 두 가지 기하학적 요소만으로 다음과 같은 선의 다양한 방정식을 완전히 찾을 수 있습니다.

선의 방정식은 벡터 방정식, 매개변수 방정식, 연속 방정식, 암시적(또는 일반) 방정식, 명시적 방정식, 점-기울기 방정식 및 표준(또는 분할) 방정식입니다.

모든 유형의 선 방정식의 목표는 동일합니다. 선을 수학적으로 표현하는 것입니다. 그러나 선의 각 방정식에는 고유한 속성이 있으므로 문제에 따라 둘 중 하나를 사용하는 것이 좋습니다.

선방정식의 개념을 살펴보았으니 이제 각 유형의 선방정식의 특징을 구체적으로 분석해 보겠습니다. 아래에는 해당 줄에 있는 다양한 유형의 방정식에 대한 자세한 설명이 있지만 원하는 경우 해당 줄에 있는 모든 방정식의 공식이 포함된 요약 표의 끝으로 직접 이동할 수 있습니다.

선의 벡터 방정식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 벡터 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

이는 평면에 있는 선의 벡터 방정식입니다. 즉, 2개 좌표(R2)의 점과 벡터로 작업할 때입니다. 그러나 공간(R3)에서 계산을 수행하는 경우 선의 방정식에 추가 구성요소를 추가해야 합니다.

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

선의 매개변수 방정식

선의 매개변수 방정식은 벡터 방정식에서 얻을 수 있습니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

먼저 매개변수를 곱합니다.

$t$

오른쪽 방향 벡터로:

$(x,y)=(P_1,P_2)+ (t\cdot\text{v}_1,t\cdot\text{v}_2)$

다음으로 X 및 Y 좌표를 추가합니다.

$(x,y)=(P_1+t\cdot\text{v}_1,P_2+t\cdot\text{v}_2)$

그리고 마지막으로 각 변수를 개별적으로 지우고 선의 매개변수 방정식을 얻습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

이전과 마찬가지로 이는 평면(R2)에 있는 선의 매개변수 방정식이지만 공간(R3)에 있는 선의 매개변수 방정식을 찾으려면 세 번째 변수 Z에 대해 방정식을 하나 더 추가해야 합니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

직선의 연속방정식

모든 선의 연속 방정식은 매개변수 방정식에서 추론할 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

설정을 지우면

$t$

각 매개변수 방정식에서 다음 표현식을 얻습니다.

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

E 두 개의 결과 방정식을 동일시함으로써 우리는 선의 연속 방정식을 얻습니다.

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

즉, 직선의 연속 방정식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

이 공식은 2차원(2D)에서 작업할 때 선의 연속 방정식을 위한 것입니다. 그러나 3차원(3D)에서 작업을 수행하는 경우 선 방정식에 추가 구성 요소를 추가해야 합니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

직선의 암시적 또는 일반 방정식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
계수
$A$

는 선 방향 벡터의 두 번째 구성요소입니다.

$A=\text{v}_2}$
계수
$B$

방향 벡터 변경 기호의 첫 번째 구성 요소는 다음과 같습니다.

$B=-\text{v}_1}$
계수
$C$

알려진 점을 대체하여 계산됩니다.

$P$

선의 방정식에서.

공식에서 직선의 암시적 방정식은 연속 방정식의 분수를 곱하여 얻을 수도 있습니다.

직선의 명시적 방정식

직선의 명시적 방정식 에 대한 공식은 다음과 같습니다.

금:

$m$

선의 기울기입니다.
$n$

y절편, 즉 Y축과 교차하는 높이입니다.

아래 섹션에서는 매개변수가 어떻게 결정되는지 볼 수 있습니다.

$m$

그리고

$n$

그러나 특히 명시적 방정식을 찾는 또 다른 방법은 암시적 방정식을 사용하는 것입니다. 이를 위해서는 미지의 문제를 해결해야 합니다.

$y$

암시적 방정식의

매개변수 m과 n의 의미

직선의 명시적 방정식의 정의에서 보았듯이 매개변수는

$m$

는 선의 기울기이고

$n$

y절편입니다. 그런데 그게 무슨 뜻인가요? 선의 그래픽 표현을 통해 이를 살펴보겠습니다.

독립이라는 용어

$\bm{n}$

는 컴퓨터 축(OY 축)과 선의 교차점입니다 . 예를 들어 위 그래프에서

$n$

선이 y=1에서 y축과 교차하기 때문에 는 1과 같습니다.

반면에, 용어는

$\bm{m}$

선의 기울기, 즉 기울기를 나타냅니다 . 그래프에서 볼 수 있듯이,

$m$

1 수평 단위에 대해 선이 2 수직 단위만큼 상승하므로 2와 같습니다.

분명히, 기울기가 양수이면 함수는 증가(상승)하고, 반면에 기울기가 음수이면 함수는 감소(하향)합니다.

선의 기울기 계산

선의 기울기가 무엇인지 정확히 알았으면 그것이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다. 따라서 선의 기울기를 수치적으로 결정하는 세 가지 방법이 있습니다.

선에 두 개의 서로 다른 점이 주어졌을 때
$P_1(x_1,y_1)$

그리고

$P_2(x_2,y_2),$

선의 기울기는 다음과 같습니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

응
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

는 선의 방향 벡터이고 기울기는 다음과 같습니다.

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

응
$\alpha$

는 가로축(X축)과 선이 이루는 각도이며, 선의 기울기는 해당 각도의 접선과 동일합니다.

$m = \text{tg}(\alpha )$

선의 점-기울기 방정식

선의 점-기울기 방정식 에 대한 공식은 다음과 같습니다.

금:

$m$

선의 기울기입니다.
$P_1, P_2$

은 선 위의 한 점의 좌표입니다

$P(P_1,P_2).$

선의 정식 또는 분절 방정식

이 선 방정식의 변형은 덜 알려져 있지만 선의 표준 방정식은 선과 데카르트 축의 교차점에서 얻을 수 있습니다.

주어진 선의 축과의 두 교차점은 다음과 같습니다.

X축으로 잘라내기:

$(a,0)$

Y축으로 잘라내기:

$(0,b)$

직선의 표준 방정식 공식은 다음과 같습니다.

수학에서는 직선의 표준 방정식을 분절 방정식 또는 대칭 방정식이라고도 합니다.

반면에 계수는

$a$

그리고

$b$

또한 다음 공식을 사용하여 선의 일반 방정식에서도 찾을 수 있습니다.

$Ax+By+C=0$

$a = -\cfrac{C}{A} \qquad \qquad b = -\cfrac{C}{B}$

선의 모든 방정식(공식)

요약하면 다음은 선의 모든 방정식의 공식을 보여주는 표입니다.

선의 방정식 계산 예

이제 선의 방정식에 대한 전체 설명을 살펴보았으므로 선의 방정식의 일반적인 문제가 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

점에 의해 결정된 직선의 방정식을 모두 찾아보세요
$P$

그리고 벡터

$\vv{\text{v}}.$

$P(3,-1) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(2,4)$

우선, 우리는 공식으로부터 선의 벡터 방정식을 찾습니다:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

간단히 점과 벡터의 좌표를 공식에 대입하면 됩니다.

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(3,-1)+t\cdot (2,4)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

둘째, 해당 공식을 통해 선의 매개변수 방정식을 찾습니다.

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=3+2t} \\[1.7ex] \bm{y=-1+4t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

그리고 우리는 또한 공식을 사용하여 선의 연속 방정식을 결정합니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-(-1)}{4}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x-3}}{\bm{2}}\bm{=}\cfrac{\bm{y+1}}{\bm{4}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

보시다시피, 벡터, 매개변수 및 연속 방정식은 계산하기 쉽습니다. 각각의 공식을 사용하기만 하면 됩니다.

이제 직선의 일반(또는 암시적) 방정식을 찾는 것으로 넘어가겠습니다. 이를 위해 연속 방정식의 두 부분을 교차합니다.

$4\cdot (x-3)= 2 \cdot (y+1)$

$4x-12= 2y+2$

$4x-12-2y-2=0$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{4x-2y-14=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

이제 우리는 미지의 문제를 해결하는 선의 명시적 방정식을 결정할 수 있습니다.

$y$

암시적 방정식:

$4x-2y-14=0$

$-2y=-4x+14$

$y=\cfrac{-4x+14}{-2}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=2x-7}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

따라서 선의 기울기는 2(독립변수에 수반되는 항)와 같습니다.

$x$

$m=2$

그리고 이를 통해 우리는 공식을 사용하여 선의 점-기울기 방정식을 계산할 수 있습니다.

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-(-1)=2(x-3)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y+1=2(x-3)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

마지막으로 선분 방정식을 찾기 위해 축 OX 및 OY와의 교차점을 계산한 다음 해당 공식을 적용합니다.

$y=2x-7$

가로축(X축)과의 교차점

$y=0$

$0=2x-7$

$-2x=-7$

$x=\cfrac{-7}{-2} = \cfrac{7}{2}$

$\displaystyle \left(\frac{7}{2}, 0\right)$

y축과의 교점(Y축)

$x=0$

$y=2\cdot 0-7$

$y=-7$

$\displaystyle \left(0,-7\right)$

$\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} = 1$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\cfrac{\bm{x}}{\frac{\bm{7}}{\bm{2}}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{-7}} \bm{= 1} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

두 점을 지나는 직선방정식

선 방정식의 또 다른 매우 일반적인 문제는 주어진 두 점에 의해 결정되는 선의 방정식을 찾는 것입니다. 두 점을 사용하여 선의 방향 벡터를 계산한 다음 방정식을 계산할 수 있지만 아래에서는 해당 선의 방정식을 직접적이고 쉽게 찾을 수 있는 공식을 제공합니다.

한 직선 위에 있는 두 점을 생각해 보세요.

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

두 점에서 직선의 방정식을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \end{empheq}$

이 공식을 사용하면 선이 통과하는 2개의 점이 주어졌을 때 선의 점-기울기 방정식을 직접 계산할 수 있습니다.

선의 방정식 문제 해결

연습 1

점으로 정의된 선의 벡터방정식, 매개변수방정식, 연속방정식을 구합니다.

$P$

그리고 그 방향 벡터

$\vv{\text{v}}.$

둘 다 되십시오:

$P(0,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(-1,5)$

해결책 보기

먼저 공식에서 선의 벡터 방정식을 계산합니다.

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(0,3)+t\cdot (-1,5)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

그런 다음 해당 공식을 사용하여 선의 매개변수 방정식을 찾습니다.

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\begin{cases} x=0+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=3+t\cdot 5\end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=-t} \\[1.7ex] \bm{y=3+5t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

그리고 마지막으로 해당 공식을 사용하여 선의 연속 방정식을 결정합니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-0}{-1}=\cfrac{y-3}{5}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x}}{\bm{-1}}\bm{=}\cfrac{\bm{y-3}}{\bm{5}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

연습 2

점에 의해 결정되는 선의 암시적 방정식, 명시적 방정식, 점-기울기 방정식을 구합니다.

$P$

그리고 그 방향 벡터는

$\vv{\text{v}}.$

$P(-4,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(2,6)$

해결책 보기

직선의 암시적 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0$

따라서 우리는 계수 A, B 및 C를 찾아야 합니다. 미지수 A 및 B는 선의 방향 벡터 좌표에서 얻어집니다. 왜냐하면 다음과 같은 동일성이 항상 확인되기 때문입니다.

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

결과적으로, 계수 A는 벡터의 두 번째 좌표이고, 계수 B는 부호가 변경된 벡터의 첫 번째 좌표입니다.

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,6) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=6 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

따라서 계수 C만 구하면 됩니다. 이를 위해서는 선에 속한다고 알고 있는 점을 방정식에 대입해야 합니다.

$P(-4,3)$

$6x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=-4 \ ; \ y=3} \ 6\cdot (-4)-2\cdot 3+C=0$

$-24-6+C=0$

$-30+C=0$

$C=30$

따라서 선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{6x-2y+30=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

이제 우리는 미지의 문제를 해결하는 선의 명시적 방정식을 결정할 수 있습니다.

$y$

암시적 방정식:

$6x-2y+30=0$

$-2y=-6x-30$

$y=\cfrac{-6x-30}{-2}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=3x+15}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

따라서 선의 기울기는 3(독립변수 앞의 항)과 같습니다.

$x$

$m=3$

그리고 선의 기울기 값으로부터 다음 공식을 사용하여 선의 점-기울기 방정식을 계산할 수 있습니다.

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-3=3(x-(-4))$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y-3=3(x+4)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

연습 3

암시적 또는 일반 방정식으로 표현된 다음 선에서 3개의 점을 결정합니다.

$4x+2y-8 = 0$

해결책 보기

선의 점을 계산하려면 변수 중 하나에 값을 할당한 다음 해당 점에서 다른 변수의 값을 찾으면 됩니다.

우리는 다음을 수행하여 첫 번째 점을 계산합니다.

$x=0:$

$4\cdot 0+2y-8 = 0$

$2y = 8$

$y = \cfrac{8}{2}$

$y = 4$

$\bm{P_1(0,4)}$

그런 다음 변수에 다른 값을 제공하는 두 번째 지점을 찾습니다.

$x,$

예를 들어

$x=1:$

$4\cdot 1+2y-8 = 0$

$2y = 8-4$

$2y = 4$

$y = \cfrac{4}{2}$

$y = 2$

$\bm{P_2(1,2)}$

그리고 마지막으로 우리는 다음을 풀어서 세 번째 점을 계산합니다.

$x=2:$

$4\cdot 2+2y-8 = 0$

$2y = 8-8$

$2y = 0$

$y = \cfrac{0}{2}$

$y = 0$

$\bm{P_3(2,0)}$

연습 4

점으로 정의된 선의 모든 방정식 찾기

$P$

그리고 벡터

$\vv{\text{v}}.$

$P(-1,4) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(-3,6)$

해결책 보기

우선, 우리는 공식으로부터 선의 벡터 방정식을 찾습니다:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(-1,4)+t\cdot (-3,6)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

둘째, 해당 공식을 통해 선의 매개변수 방정식을 찾습니다.

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=-1-3t} \\[1.7ex] \bm{y=4+6t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

그리고 우리는 또한 공식을 사용하여 선의 연속 방정식을 결정합니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{-3}=\cfrac{y-4}{6}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x+1}}{\bm{-3}}\bm{=}\cfrac{\bm{y-4}}{\bm{6}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

이제 선의 암시적 또는 일반 방정식을 찾는 것으로 넘어가겠습니다. 이를 위해 연속 방정식의 두 부분을 교차합니다.

$6\cdot (x+1)= -3 \cdot (y-4)$

$6x+6= -3y+12$

$6x+6+3y-12=0$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{6x+3y-6=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

이제 우리는 미지의 문제를 해결하는 선의 명시적 방정식을 결정할 수 있습니다.

$y$

암시적 방정식:

$6x+3y-6=0$

$3y=-6x+6$

$y=\cfrac{-6x+6}{3}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=-2x+2}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

따라서 선의 기울기는 -2(독립변수에 수반되는 항)와 같습니다.

$x$

$m=-2$

그리고 이를 통해 우리는 공식을 사용하여 선의 점-기울기 방정식을 계산할 수 있습니다.

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-4=-2(x-(-1))$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y-4=-2(x+1)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

마지막으로 선의 분할 방정식을 찾기 위해 선과 축 OX 및 OY의 교차점을 계산한 다음 해당 공식을 사용합니다.

$y=-2x+2$

가로축(X축)과의 교차점

$y=0$

$0=-2x+2$

$2x=2$

$x=\cfrac{2}{2} =1$

$\displaystyle \left(1, 0\right)$

y축과의 교점(Y축)

$x=0$

$y=-2\cdot 0+2$

$y=2$

$\displaystyle \left(0,2\right)$

$\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} = 1$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\cfrac{\bm{x}}{\bm{1}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{2}} \bm{= 1} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

연습 5

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하십시오.

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

해결책 보기

우리는 이미 선의 두 점을 알고 있으므로 선의 방정식 공식을 주어진 두 점에 직접 적용합니다.

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

이제 점의 데카르트 좌표를 공식으로 대체합니다.

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

그리고 마지막으로 선의 기울기를 계산합니다.

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

따라서 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

직선의 방정식은 모두 무엇입니까?

선의 벡터 방정식

선의 매개변수 방정식

직선의 연속방정식

직선의 암시적 또는 일반 방정식

직선의 명시적 방정식

매개변수 m과 n의 의미

선의 기울기 계산

선의 점-기울기 방정식

선의 정식 또는 분절 방정식

선의 모든 방정식(공식)

선의 방정식 계산 예

두 점을 지나는 직선방정식

선의 방정식 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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