삼항식 제곱

이 페이지에서는 삼항식(공식)의 제곱을 푸는 방법을 설명합니다. 또한 여러 예제를 보고 제곱삼항식을 단계별로 풀어가는 연습문제를 통해 연습할 수 있습니다.

제곱 삼항식의 공식

논리적으로 삼항식의 제곱 공식을 이해하려면 먼저 삼항식이 무엇인지 알아야 합니다. 설명을 계속하기 전에 검토하고 싶으신 경우를 대비해 이 링크를 남겨드립니다.

삼항식의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 두 번째 항의 제곱을 더하고 세 번째 항의 제곱을 더한 다음 첫 번째 항의 두 배와 두 번째 항의 두 배, 첫 번째 항의 두 배와 세 번째 항의 두 배, 더하기 두 번째 항의 두 배와 같습니다. 세 번째로 두 번째.

삼항식의 제곱은 주목할 만한 곱(또는 주목할만한 항등식)이기 때문에 매우 중요합니다. 즉, 이 연산을 빠르게 계산할 수 있는 수학 공식이 있습니다. 주목할만한 모든 제품 공식이 무엇인지 보려면 다음 링크를 클릭하십시오.

제곱 삼항식의 예

삼항식의 제곱에 대한 공식이 무엇인지 살펴보고 나면 삼항식의 제곱을 계산하는 몇 가지 예를 볼 수 있습니다.

실시예 1

다음과 같은 제곱 삼항식의 거듭제곱을 계산합니다.

$\left(x^2+x+3\right)^2$

삼항식의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

따라서 먼저 매개변수 값을 식별해야 합니다.

$a,b$

그리고

$c$

공식의. 이 연습에서는

$a$

동쪽

$x^2,$

계수

$b$

에 해당

$x,$

그리고

$c$

독립항 3은 다음과 같습니다.

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

값을 이미 알고 있으면 이 값을 공식에 대입하고 계산을 수행하면 됩니다.

반면에, 제곱 삼항식은 완전 제곱 삼항식 과 동일하지 않다는 점에 유의해야 합니다. 많은 사람들이 이 두 개념을 혼동하기 때문에 이는 흔히 발생하는 실수입니다. 이 단락의 링크에서 이 두 가지 유형의 삼항식 간의 차이점을 볼 수 있습니다.

실시예 2

삼항식의 다음 제곱을 구합니다:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

이 다항식 거듭제곱을 결정하려면 2로 거듭제곱된 삼항식에 대한 공식을 적용해야 합니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

이 문제에서는

$a$

이는 다음과 같습니다.

$x^2,$

$b$

음의 단항식에 해당합니다.

$-2x,$

그리고

$c$

번호 4입니다:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

따라서 찾은 값을 공식에 대체하고 결과 작업을 해결합니다.

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

음수 밑의 짝수 지수를 갖는 거듭제곱은 양수 항을 제공한다는 것을 기억하십시오.

$(-2x)^2$

동일하다

$4x^2.$

이제 삼항식의 제곱이 어떻게 계산되는지 살펴보았으므로 두 항의 차이로 합의 곱을 푸는 방법도 알고 싶을 것입니다. 실제로 그는 주목할 만한(가장 중요한) 상위 3개 정체성에 속합니다. 링크된 페이지에서 해당 공식이 무엇인지, 어떻게 적용되는지 확인할 수 있습니다.

삼항식의 제곱에 대한 공식 시연

삼항식 제곱의 거듭제곱 개념에 대한 이해를 마치기 위해 방금 공부한 공식을 추론해 보겠습니다.

삼항식을 2로 올림:

$(a+b+c)^2$

위의 대수식은 괄호 안의 삼항식 자체를 곱하는 것과 동일합니다.

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

이제 두 삼항식을 곱해 보겠습니다.

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

마지막으로 유사한 용어를 그룹화합니다.

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

그리고 이런 방식으로 우리는 이미 공식의 표현에 도달했습니다. 따라서 삼항식의 제곱에 대한 공식이 설명됩니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

우리 웹사이트에는 주목할만한 신원에 대한 더 많은 시연이 있습니다. 예를 들어, 제곱합 과 제곱차 에 대한 공식 데모를 볼 수 있습니다. 더욱이, 이 링크에서 당신은 그들의 증명뿐만 아니라 공식의 기하학적 해석, 즉 이러한 유형의 놀라운 정체성이 기하학적으로 의미하는 바도 볼 수 있습니다.

제곱 삼항식 문제 해결

다음 제곱 삼항식을 푼다:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

해결책 보기

모든 연습 문제를 풀려면 삼항식의 제곱 공식을 사용해야 합니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

제곱 삼항식의 공식

제곱 삼항식의 예

실시예 1

실시예 2

삼항식의 제곱에 대한 공식 시연

제곱 삼항식 문제 해결

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