불합리함수 또는 급진함수 -

이 페이지에서는 근호함수라고도 불리는 비합리적 함수가 무엇인지와 이러한 함수 유형의 모든 특성을 설명합니다. 또한 급진적 또는 비합리적 함수의 영역을 계산하는 방법을 발견하고, 추가로 예제를 통해 이를 그래프로 표현하는 방법을 확인하고 연습과 단계별로 해결되는 문제를 연습할 수 있습니다.

비합리적(또는 급진적) 함수란 무엇입니까?

무리함수는 급진함수와 같은 의미이므로 다음과 같은 정의를 공유합니다.

근호함수( radical function) 라고도 불리는 무리함수(irrational function)는 근기호 아래에 독립변수 x를 갖는 함수이다.

우리가 이미 알고 있듯이 근의 결과는 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. 따라서 무리(또는 근치) 함수의 표현에는 두 가지 가능한 곡선이 있습니다.

그러나 부호가 지정되지 않으면 양의 함수가 표현된다고 가정합니다.

반면, 비합리적인 함수를 합리적인 함수와 혼동해서는 안 됩니다. 이름은 매우 유사하지만 완전히 다른 두 가지 유형의 기능입니다.

비합리적이거나 급진적인 기능의 영역

근을 갖는 함수의 정의역은 근 지수의 패리티에 따라 달라집니다. 즉 근호 지수가 짝수인지 홀수인지에 따라 달라집니다.

짝수 인덱스의 근을 갖는 함수의 영역

잘 아시다시피 음수의 근(심지어 색인)은 없습니다. 따라서 짝수 지수를 갖는 근호 함수는 그 내용이 0 이상이면 존재합니다.

예를 들어, 다음과 같은 근호 또는 비합리 함수의 정의역이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

$f(x)=\sqrt{x-4}$

이는 급진 짝수 인덱스 함수이므로 해당 내용이 양수이거나 0인 경우를 살펴봐야 합니다 .

$x-4\ge 0$

우리는 불평등을 해결합니다:

$x\ge 4$

따라서 함수는 x가 4보다 크거나 같을 때마다 존재하며 다음 간격으로 표시됩니다.

$\text{Dom } f= [4,+\infty)$

홀수 인덱스의 근을 갖는 함수의 영역

홀수 인덱스를 갖는 무리 함수에는 음수의 홀수 인덱스 근이 존재하므로 이 문제가 없습니다.

$\sqrt[3]{-8}=-2$

따라서 x 의 모든 값에 대해 홀수 인덱스의 근호 함수가 존재합니다. 즉, 정의역은 실수로만 구성됩니다 .

예를 들어, 지수가 홀수인 다음 근호 함수의 정의 영역을 계산합니다.

$f(x)=\sqrt[3]{3x-4}$

홀수 인덱스를 갖는 무리 함수이므로 해당 정의역은 실수로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

비합리적이거나 급진적인 함수를 표현하는 방법

예제를 사용하여 그래프에 근이 있는 함수를 표현하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음과 같은 급진 또는 비합리 함수를 그래프에 그려 보십시오.

$f(x)=\sqrt{x+2}$

가장 먼저 할 일은 함수의 정의역을 찾는 것입니다. 제곱근이기 때문에, 음수의 제곱근이 없기 때문에 그 안에 포함된 것은 무엇이든 양수여야 합니다. 따라서 근호 함수는 그 함량이 0보다 크거나 같으면 존재합니다.

$x+2\ge 0$

$x\ge -2$

따라서 함수의 정의역은 -2보다 크거나 같은 모든 숫자로 구성됩니다. 즉, 다음과 같습니다.

$\text{Dom } f = [-2,+\infty)$

함수의 영역을 알고 나면 값 테이블을 만듭니다. 분명히, 우리가 계산하는 포인트가 많을수록 함수 표현이 더 정확해집니다. 그러나 도메인 간격에서 3~4개의 점을 계산하면 충분합니다.

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=\sqrt{-2+2}= 0$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=\sqrt{-1+2}= 1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=\sqrt{2+2}= 2$

$x= 7 \ \longrightarrow \ f(7)=\sqrt{7+2}= 3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 7 & 3 \end{array}$

이제 그래프에서 얻은 점을 나타냅니다 .

마지막으로 점들을 결합하고 곡선을 확장하여 함수가 계속해서 증가함을 나타냅니다.

비합리적이거나 급진적인 기능에 대한 해결 연습

연습 1

다음 근호 함수의 정의역을 찾으세요:

$\sqrt{3x+6}$

솔루션 보기

음수의 제곱근은 존재하지 않습니다. 따라서 루트 인수가 양수이거나 0일 때 함수가 존재합니다.

$3x+6 \ge 0$

$3x \ge -6$

$x \ge \cfrac{-6}{3}$

$x \ge -2$

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = [-2,+\infty)}$

연습 2

다음 비합리 함수의 정의역을 찾으세요:

$\sqrt{-x+2}$

솔루션 보기

음수의 제곱근에는 실제 해가 없습니다. 따라서 근의 내용이 양수이거나 0인 한 함수는 존재합니다.

$-x+2\ge 0$

$-x\ge -2$

$x\le\cfrac{-2}{-1}=2$

부등식에서 곱하거나 나누는 음수의 변을 바꾸면 부등식의 부호도 회전해야 한다는 것을 기억하십시오.

$x\le2$

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,2]}$

연습 3

다음과 같은 비합리 함수를 그래프에 그려보세요.

$f(x)= \sqrt{x-1}$

솔루션 보기

우선, 함수의 정의역을 계산해야 합니다:

$x-1\ge 0$

$x\ge 1$

$\text{Dom } f = [1,+\infty)$

이제 도메인 범위에 함수 값을 제공하여 값 배열을 만듭니다.

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \sqrt{1-1}=0$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \sqrt{2-1}=1$

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)= \sqrt{5-1}=2$

$x= 10 \ \longrightarrow \ f(10)= \sqrt{10-1}=3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 5 & 2 \\ 10 & 3 \end{array}$

마지막으로 점을 플롯하고 그래프에 함수를 플롯합니다.

연습 4

다음의 비합리적이거나 급진적인 함수를 그래프로 그려보세요:

$f(x)= -2\sqrt{x}+3$

솔루션 보기

우선, 함수의 정의역을 계산해야 합니다:

$x\ge 0$

$\text{Dom } f = [0,+\infty)$

이제 도메인 범위에 함수 값을 제공하여 값 배열을 만듭니다.

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= -2\sqrt{0}+3=3$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= -2\sqrt{1}+3=1$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)= -2\sqrt{4}+3=-1$

$x= 9 \ \longrightarrow \ f(9)= -2\sqrt{9}+3=-3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 3 \\ 1 & 1 \\ 4 & -1 \\ 9 & -3 \end{array}$

마지막으로 점을 플롯하고 그래프에 함수를 그립니다.

연습 5

다음의 비합리적이거나 급진적인 함수를 그래프로 그려보세요:

$f(x)= \sqrt{-x+5}$

솔루션 보기

함수를 그리기 전에 함수의 정의역을 계산해야 합니다.

$-x+5\ge 0$

$-x\ge -5$

$x\le\cfrac{-5}{-1}=5$

부등식에서 곱하거나 나누는 음수의 변을 바꾸면 부등식의 부호도 바꿔야 한다는 것을 기억하세요.

$x\le5$

$\text{Dom } f = (-\infty,5]$

이제 함수 영역에 속하는 지점에서 함수를 평가하여 값 테이블을 구성합니다.

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)=\sqrt{-5+5}=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=\sqrt{-4+5}=1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=\sqrt{-1+5}=2$

$x= -4 \ \longrightarrow \ f(-4)=\sqrt{-(-4)+5}=3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 5 & 0 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{array}$

마지막으로 점을 표현하고 그래프에 함수를 그립니다.

연습 6

다음과 같은 비합리적이거나 급진적인 함수를 그래프에 그려 보십시오.

$f(x)= \sqrt{x^2-5x+4}$

솔루션 보기

먼저 함수의 도메인을 계산해야 합니다.

$x^2-5x+4\ge 0$

이 경우 2차 부등식을 얻었으므로 이를 해결하려면 2차 방정식 공식을 적용해야 합니다.

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1} = \cfrac{5\pm 3}{2} =\begin{cases} 4 \\[2ex] 1 \end{cases}$

우리는 얻은 뿌리를 사용하여 선을 세 부분으로 나눕니다.

그리고 부등식의 각 부분에 숫자를 대입하여 어떤 부분이 부등식을 만족하고 따라서 도메인에 속하는지 확인합니다.

$x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 0} <img src="https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c214e08b91825263231bc6eddbbdee1_l3.png" height="54" width="404" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[0^2-5\cdot 0+4\ge 0 \ \longrightarrow \ 4\ge 0 $ ✅$x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 2}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> 2^2-5\cdot 2+4\ge 0 \ \longrightarrow \ -10\ \cancel{\ge } \ 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com”> ❌ <p class=$ $x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 5}$

$5^2-5\cdot 5+4\ge 0 \ \longrightarrow \ 4\ge 0$

✅

따라서 불평등을 존중하는 섹션은 측면의 섹션입니다.

따라서 함수의 영역은 다음과 같습니다.

$\text{Dom } f = (-\infty,1]\cup [4,+\infty)$

함수의 도메인을 계산한 후에는 도메인 간격에서 함수 값을 제공하는 값 테이블을 구성합니다.

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=\sqrt{1^2-5\cdot 1+4} =0$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=\sqrt{0^2-5\cdot 0+4} =2$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=\sqrt{(-1)^2-5\cdot (-1)+4} =3,16$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=\sqrt{4^2-5\cdot 4+4} =0$

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)=\sqrt{5^2-5\cdot 5+4} =2$

$x= 6 \ \longrightarrow \ f(6)=\sqrt{6^2-5\cdot 6+4} =3,16$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ -1 & 3,16 \\ 4 & 0 \\ 5 & 2 \\ 6 & 3,16 \\ \end{array}$

마지막으로, 얻은 점을 그래프에 나타내고 함수를 그립니다.

연습 7

근에 의해 형성된 다음 함수를 그래프에 나타내십시오.

$f(x)= \sqrt[3]{x}$

솔루션 보기

이는 근이 홀수 인덱스를 갖는 비합리 함수이므로 함수의 정의역은 실수로 구성됩니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

그러므로 우리는 값 테이블을 생성하기 위해 어떤 점이라도 취할 수 있습니다. 이 경우에는 세제곱근이므로 많은 점을 찾습니다.

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= \sqrt[3]{0} = 0$

$x= 0,5 \ \longrightarrow \ f(0,5)= \sqrt[3]{0,5} = 0,79$

$x= -0,5 \ \longrightarrow \ f(-0,5)= \sqrt[3]{-0,5} = -0,79$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \sqrt[3]{1} = 1$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= \sqrt[3]{-1} = -1$

$x= 8 \ \longrightarrow \ f(8)= \sqrt[3]{8} = 2$

$x= -8 \ \longrightarrow \ f(-8)= \sqrt[3]{-8} = -2$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 0,5 & 0,79 \\ -0,5 & -0,79 \\ 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 8 & 2 \\ -8 & -2 \end{array}$

마지막으로, 발견된 점을 플롯하고 그래프에 함수를 플롯합니다.

연습 8

비합리적(또는 급진적) 함수와 관련된 다음 문제를 해결하세요.

휴대폰 배터리 소모량은 다음 함수로 계산됩니다.

$f(t)=\sqrt{x-K \vphantom{(-K)}}$

소비량이 밀리암페어(mA)로 표시되는 경우

$t$

분 단위의 경과 시간입니다.

상수 값 결정

$K$

따라서 4분 후 소비량은 35mA입니다.

솔루션 보기

4분 후 소비량이 35mA라는 것은 t가 4일 때 f(t)가 35라는 것을 의미합니다. 따라서 f(4)=35입니다.

$f(4)=\sqrt{4-K} = 35$

$\sqrt{4-K} = 35$

이제 우리가 얻은 방정식을 풀어야 합니다. 자세히 보면 근이 있기 때문에 비합리적인 방정식이다. 이러한 유형의 방정식에서 가장 먼저 해야 할 일은 한 변의 근을 분리하는 것입니다. 이 경우 이미 분리되어 있습니다. 일단 분리되면 방정식의 양변을 제곱해야 합니다.

$\left( \sqrt{4-K} \right)^2= 35^2$

그런 다음 루트를 단순화합니다.

$4-K= 35^2$

그리고 우리는 방정식을 푼다:

$4-K= 1125$

$4-1225=K$

$\bm{-1221=K}$

마지막으로, 비합리 방정식에서는 해를 검증해야 합니다. 따라서 시작 부분의 방정식에서 K=-1221을 대체해야 합니다.

$\sqrt{4-K} = 35 \ \xrightarrow{K \ = \ -1221} \ \sqrt{4-(-1221)} = 35$

$\sqrt{4+1221} = 35$

$\sqrt{1225} = 35$

$35 = 35$

등식이 만족되므로 K=-1221이 해가 됩니다.

비합리적(또는 급진적) 함수란 무엇입니까?

비합리적이거나 급진적인 기능의 영역

짝수 인덱스의 근을 갖는 함수의 영역

홀수 인덱스의 근을 갖는 함수의 영역

비합리적이거나 급진적인 함수를 표현하는 방법

비합리적이거나 급진적인 기능에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

연습 8

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