벡터(수학)란 무엇입니까? -마토리티

이 페이지에서는 벡터에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 벡터의 정의, 특성, 계산 방법, 벡터로 연산을 수행하는 방법, 존재하는 다양한 유형 등.

벡터란 무엇입니까?

벡터의 수학적 정의는 다음과 같습니다.

수학에서 벡터는 한 지점(원점이라고 함)에서 다른 지점(끝이라고 함)으로 이동하는 방향이 지정된 세그먼트입니다.

예를 들어, 아래 그래프에서 벡터를 볼 수 있습니다.

$\vv{AB}$

A점을 원점으로 하고 B점을 끝점으로 합니다.

벡터는 주로 수학, 특히 기하학, 물리학에서 벡터 힘을 그래픽으로 표현하는 데 사용됩니다.

벡터의 특성

벡터의 수학적 의미가 무엇인지 살펴보았으니 이제 벡터의 속성이 무엇인지 살펴보겠습니다.

각 벡터에는 다음과 같은 기하학적 특성이 있습니다.

방향 : 벡터의 방향은 벡터를 포함하는 선 또는 벡터와 평행한 선의 방향입니다. 즉, 벡터의 방향은 벡터가 놓인 선입니다.
방향 : 벡터의 방향은 화살표로 표시된 벡터의 방향입니다.
모듈 (또는 크기): 벡터의 모듈은 벡터의 길이이며 벡터의 숫자 값에 해당합니다. 따라서 벡터의 의미가 클수록 그것이 나타내는 벡터의 양도 커집니다.
적용점 : 벡터의 적용점은 해당 벡터의 원점입니다.

벡터의 방향과 방향에 대한 개념은 혼동되는 경우가 많으므로 차이점을 구별하는 것이 중요합니다. 두 개의 벡터가 포함된 다음 예를 살펴보세요. 둘 다 방향은 동일하지만 의미는 다릅니다.

두 벡터는 평행하기 때문에 방향이 같습니다. 대신, 뒤쪽을 향하고 있기 때문에 방향이 반대입니다.

벡터의 구성요소

우리는 벡터가 화살표로 그래픽적으로 표현된다는 것을 방금 살펴보았지만 벡터는 벡터의 구성요소(또는 좌표)로 수치적으로 표현될 수도 있습니다.

예를 들어 그래프에 다음 벡터가 표시되어 있다고 가정합니다.

벡터의 구성요소를 계산하려면 먼저 원점과 끝의 좌표, 즉 시작점과 끝점을 식별해야 합니다. 이 경우 벡터의 원점과 끝은 다음과 같습니다.

벡터의 원점: A(2,1)

벡터의 끝점: B(5,6)

따라서 벡터의 좌표나 구성요소를 찾으려면 간단히 끝점에서 원점을 뺀 값을 빼면 됩니다.

$\begin{aligned} \vv{AB} & = B- A \\[2ex] & = (5,6)- (2,1) \\[2ex] &= (5-2 \ , \ 6-1) \\[2ex] &= (3,5) \end{aligned}$

따라서 그래프에 표시된 벡터의 구성 요소는 다음과 같습니다.

$\vv{\bm{AB}}\bm{=(3,5)}$

벡터 연산

벡터 추가

두 개의 벡터를 수치적으로 추가하려면 해당 구성 요소를 추가해야 합니다. 즉, 두 벡터의 X 좌표를 더해 Y 좌표와 동일하게 만듭니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{c} \vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}}=(\text{v}_x, \text{v}_y)\\[4ex]\vv{\text{u}} + \vv{\text{v}} = (\text{u}_x + \text{v}_x \ , \ \text{u}_y + \text{v}_y) \end{array} \end{empheq}$

이것이 어떻게 수행되는지 볼 수 있도록 다음 두 벡터를 추가하겠습니다.

$\vv{\text{u}} = (2,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4, -1)$

$\begin{aligned} \vv{\text{u}} + \vv{\text{v}}& =(2,3) +(4,-1) \\[2ex] & = (2+4,3+(-1)) \\[2ex] & = \bm{(6,2)} \end{aligned}$

그래픽 표현에서 두 개의 벡터를 추가할 수도 있습니다. 이를 위해서는 일반적으로 평행사변형의 법칙이나 법칙을 사용하지만, 방법에는 여러 가지가 있습니다. 여기에서 두 개의 벡터를 그래픽으로 추가하는 방법 에 대한 예제와 해결 연습을 볼 수 있습니다.

벡터 빼기

분석적으로 두 벡터를 빼려면 해당 구성 요소를 빼야 합니다. 즉, 두 벡터의 X좌표를 서로 빼면 Y좌표와 같다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{c} \vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}}=(\text{v}_x, \text{v}_y)\\[4ex]\vv{\text{u}} - \vv{\text{v}} = (\text{u}_x - \text{v}_x \ , \ \text{u}_y - \text{v}_y) \end{array} \end{empheq}$

예를 들어, 다음 두 벡터를 뺍니다.

$\vv{\text{u}} = (3,1) \qquad \vv{\text{v}}=(2, -4)$

$\begin{aligned} \vv{\text{u}} - \vv{\text{v}}& =(3,1) -(2,-4) \\[2ex] & = (3-2,1-(-4)) \\[2ex]& = (3-2,1+4) \\[2ex] & = \bm{(1,5)} \end{aligned}$

덧셈과 마찬가지로 표현을 사용하여 2개의 벡터를 뺄 수도 있습니다. 이를 위해 일반적으로 삼각법칙이나 법칙을 사용하지만, 여러 가지 방법이 있다. 두 벡터를 그래픽으로 빼는 방법 에 대한 예제와 해결 연습을 통해 모두 볼 수 있습니다.

벡터의 모듈

이 페이지의 시작 부분에서 살펴본 것처럼 벡터의 크기는 해당 벡터의 길이에 해당합니다. 음, 벡터의 길이(또는 크기)는 해당 구성 요소로 결정될 수 있습니다.

임의의 벡터를 고려하십시오.

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)$

평면에서 벡터의 크기를 찾으려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2} \end{empheq}$

예를 들어, 다음 공식을 사용하여 다음 벡터의 크기를 계산합니다.

$\vv{\text{u}} = (3,-4)$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16}=\sqrt{25} = \bm{5}$

매우 간단해 보이지만 벡터의 크기를 결정하는 것은 복잡할 수 있습니다. 더 많은 예제를 보고 벡터 모듈의 연습 문제를 해결하고 싶다면 이 링크된 페이지를 방문하는 것이 좋습니다.

벡터와 스칼라의 곱셈

숫자(또는 스칼라)로 벡터의 곱을 수치적으로 계산하려면 벡터의 각 구성요소에 해당 숫자를 곱해야 합니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{c}\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\\[4ex]k\cdot \vv{\text{u}} =(k\cdot \text{u}_x \ , \ k\cdot \text{u}_y) \end{array} \end{empheq}$

다음의 일반적인 예에서는 스칼라의 부호에 관계없이 벡터의 방향이 어떻게 유지되는지 확인할 수 있습니다. 반면 벡터의 방향은 곱하는 숫자의 부호에 따라 달라집니다.

아래에서는 벡터와 숫자의 곱을 찾는 방법에 대한 수치적 예를 볼 수 있습니다.

$\vv{\text{u}} =(3,-2)$

$4\cdot \vv{\text{u}} =(4 \cdot 3 \ , \ 4 \cdot (-2)) = \bm{(12,-8)}$

스칼라 곱

분석 기하학에서 내적은 두 벡터를 곱하여 실수로 변환하는 벡터 연산입니다.

따라서 두 벡터의 내적 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y \end{empheq}$

아래에는 두 벡터 사이의 내적 결과가 계산되는 예가 있습니다.

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(4,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=4\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -4+6 \\[1.5ex] & =\bm{10} \end{aligned}$

이 링크에서는 내적의 더 많은 예를 볼 수 있습니다. 또한 두 벡터 사이의 내적을 찾는 또 다른 방법, 벡터를 사용한 이러한 유형의 연산 속성 및 단계별로 해결되는 연습을 찾을 수 있습니다.

벡터 제품

이름은 매우 유사하지만 내적과 교차곱은 완전히 다릅니다.

외적(cross product) 이라고도 불리는 외적(cross product)은 공간(R3)에 있는 두 벡터, 즉 3좌표 벡터 사이의 연산입니다.

따라서 두 개의 3차원 벡터가 있는 경우:

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) \qquad \vv{\text{v}}= (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

두 벡터의 외적은 다음 3×3 행렬식의 결과와 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}}=\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] \text{u}_x & \text{u}_y & \text{u}_z \\[1.1ex] \text{v}_x &\text{v}_y&\text{v}_z \end{vmatrix} \end{empheq}$

벡터는 어디에

$\vv{i}, \vv{j},\vv{k}$

는 각각 X, Y, Z 축 방향의 단위 벡터입니다.

또한 결과 벡터의 방향은 곱해진 두 벡터에 수직입니다.

짐작할 수 있듯이 이러한 유형의 연산을 해결하는 것은 이전 연산보다 더 어렵습니다. 이러한 이유로 두 벡터 간의 외적을 계산하는 방법에 대한 자세한 설명이 포함된 전체 페이지가 있습니다. 그러므로 관심이 있으신 분들은 꼭 방문해 보시고 해결된 벡터 제품 연습문제를 통해 연습해 보시길 권해 드립니다.

혼합제품

삼중 내적이라고도 하는 세 벡터의 혼합 곱은 두 가지 다른 유형의 연산, 즉 내적과 벡터 곱을 포함하는 세 벡터 간의 연속적인 곱셈입니다. 따라서 두 벡터 연산의 조합은 스칼라(실수)를 제공합니다.

구체적으로, 혼합 곱은 두 벡터의 벡터 곱을 계산한 후 세 번째 벡터에서 얻은 결과를 벡터적으로 곱하는 것으로 구성됩니다. 공식을 보세요:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.3pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = \vv{\text{u}} \cdot ( \vv{\text{v}}\times \vv{\text{w}}) \end{empheq}$

벡터 곱과 마찬가지로 벡터 간의 혼합 곱도 해결하기가 쉽지 않습니다. 이러한 이유로 세 벡터의 혼합 곱 에 대한 설명을 살펴보는 것이 좋습니다. 여기에서 이 벡터 연산의 예, 해결된 연습 및 기하학적 의미를 찾을 수 있습니다.

벡터 유형

벡터에는 다양한 유형이 있지만 알아야 할 가장 중요한 정의는 다음과 같습니다.

단위 벡터 : 모듈이 1인 벡터입니다.
고정 벡터 : 벡터의 원점을 고정점에 적용하면 벡터가 고정됩니다.
자유 벡터(Free Vector) : 벡터는 적용 지점이 정의되지 않은 경우 자유 지점이지만 자유 지점입니다.
동일선상 벡터 : 두 개 이상의 벡터가 동일한 작용선(벡터가 위치한 선)을 공유하는 경우 동일선상에 있습니다.
등가 벡터 : 두 벡터가 동일한 크기, 동일한 의미 및 동일한 방향을 갖는 경우(적용 지점은 다를 수 있음) 동일한 벡터입니다.
연결된 벡터 : 연결된 벡터는 동일한 선에 작용하는 등화 벡터입니다.
반대 벡터 : 크기와 방향은 같지만 방향이 다른 두 벡터는 반대입니다.
위치 벡터 : 위치 벡터는 점 (0,0)(좌표의 원점)을 원점으로 하는 벡터입니다.
경쟁 벡터 : 두 개 이상의 벡터가 작용선이 동일한 점을 통과할 때, 즉 교차할 때 동시입니다.
평행 벡터 : 두 개 이상의 벡터가 방향에 관계없이 동일한 방향을 가지면 평행합니다.
수직 벡터 : 두 벡터는 방향이 90°의 각도를 이룰 때 수직(또는 직교)입니다.
정규 직교 벡터 : 두 개 이상의 벡터가 서로 수직이고 더 나아가 단일한 경우(크기가 1과 같음) 정규 직교입니다.
동일 평면에 있는 벡터 : 두 개 이상의 벡터가 동일한 평면에 포함될 때 동일 평면에 있습니다.

두 벡터 사이의 각도

주어진 두 벡터 사이의 각도를 찾으려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.4pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

금

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

벡터의 모듈입니다

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

각기.