▷ 무한대의 한계를 해결하는 방법 (+25개의 연습 문제 해결)

여기서는 모든 유형의 무한대 극한을 푸는 방법을 찾을 수 있습니다: 다항식, 유리수, 지수 함수, 근 포함, 무한대 불결정… 또한 x일 때 한계에 대해 단계별로 해결되는 25가지 연습을 통해 훈련할 수 있습니다. 무한한 경향이 있습니다. .

x가 무한대에 가까워질 때 함수의 극한

x가 무한대에 접근할 때 함수의 극한은 양수이든 음수이든 실수 값, 플러스 무한대, 마이너스 무한대 또는 존재하지 않을 수 있습니다. 무한대의 극한을 풀려면 x를 무한대로 바꿔야 합니다.

첫 번째 그래프에서 볼 수 있듯이 표시된 함수는 x가 커짐에 따라 k에 가까워지기 때문에 실수 값 k 가 무한대로 향하는 경향이 있습니다. 오른쪽 상단에 있는 함수는 x 값이 증가함에 따라 무한정 커지기 때문에 x 가 무한대에 가까워질수록 무한대가 되는 경향이 있습니다. 반면, 왼쪽 하단의 그래프는 멈추지 않고 감소하므로 마이너스 무한대를 향하는 경향이 있습니다. 마지막으로 마지막 함수는 주기적이며 어떤 값에도 영향을 주지 않으므로 이 경우 무한대에는 제한이 없습니다.

무한대의 한계를 해결하는 방법

다항식 함수의 무한대 극한을 풀려면 함수의 최고 차수 항에서만 x를 무한대로 바꿔야 합니다.

예를 들어, 최고 차수의 단항식에 무한대만 대체하는 무한대 극한에 대한 다음 계산을 살펴보세요.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}$

예에서 볼 수 있듯이, 2의 거듭제곱에 대한 매우 큰 숫자(+무한화)는 항상 매우 큰 수(+무한화)를 제공하기 때문에 +무효 제곱은 +무효를 제공합니다.

그리고 곱셈에서도 같은 일이 일어납니다. 매우 큰 수(+무한대)를 곱하면 항상 매우 큰 수(+무한대)를 얻게 됩니다. 예를 들어:

$3\cdot (+\infty)= +\infty.$

경고: 무한대의 한계를 계산하려면 다음 요소를 고려하는 것이 중요합니다.

→ 짝수 지수로 올려진 음수는 양수입니다. 따라서 짝수 지수로 올려진 마이너스 무한대는 플러스 무한대를 제공합니다.

$(-\infty)^2 = +\infty$

→ 홀수 지수로 거듭제곱된 음수는 음수입니다. 따라서 홀수 지수로 올려진 마이너스 무한대는 마이너스 무한대입니다.

$(-\infty)^3 = -\infty$

→ 음수를 곱하면 무한대의 부호가 변경됩니다.

$-2(+\infty) = - \infty$

→ 다음으로 나눈 임의의 숫자

$\pm \infty$

0을 제공합니다:

$\cfrac{5}{\infty} = 0$

무한대 극한의 예

따라서 다항식에서 무한대에 대한 극한이 어떻게 해결되는지 확인할 수 있습니다. 아래에는 해결된 몇 가지 극한이 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}$

무한대에 대한 미확인 한계

무한대의 극한은 계산하기가 항상 그렇게 쉬운 것은 아닙니다. 왜냐하면 때때로 우리는 무한대 사이의 무한대의 불확정성 또는 무한대 빼기 무한대의 불확정성을 얻을 것이기 때문입니다.

$\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty$

이런 종류의 불확정(또는 불확정 형태)을 얻게 되면 결과를 직접적으로 알 수는 없고, 오히려 극한값을 찾기 위한 예비적인 과정을 거쳐야 합니다. 그런 다음 무한대의 불확정 극한이 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

무한 사이의 무한한 불확정성

불확정성 무한대를 무한대로 나눈 결과를 찾으려면 분수의 분자 차수와 분모 차수를 비교해야 합니다.

분자 다항식의 차수가 분모 다항식의 차수보다 작으면 무한대에 대한 무한 불확정성 은 0과 같습니다.
분자 다항식의 차수가 분모 다항식의 차수와 동일하면 무한대에 대한 무한 불확정성은 두 다항식의 주요 계수의 몫입니다.
분자 다항식의 차수가 분모 다항식의 차수보다 크면 무한대 사이의 무한 불확정성은 다소 무한대를 제공합니다(부호는 두 다항식의 주요 항에 따라 다름).

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”> 예를 들어, 다음 극한에서 분자 다항식은 2차이고 분모 다항식은 3차이므로 극한에 대한 해는 0입니다. <p class=$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

유리 함수의 두 다항식은 2차이므로 무한대에서의 극한을 계산하려면 더 높은 차수의 항의 계수를 나누어야 하는 다른 예를 살펴보십시오.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

마지막으로 다음 극한에서는 분자의 함수가 분모의 함수보다 더 큰 차수를 가지므로 무한대에 대한 무한대의 불확정성이 무한대를 제공합니다. 또한 분자에서는 양의 무한대가 얻어지지만 분모에서는 음의 무한대가 얻어지므로 극한의 결과는 음수입니다(음수 사이의 양수는 음수입니다).

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

근과 무한 사이의 무한 불확정성

반면, 무리함수(근이 있는 함수)의 차수는 주항의 차수와 근호 지수 간의 몫입니다.

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

따라서 근이 있는 함수의 극한이 무한대 사이에 무한한 불확정성을 제공하는 경우 분자와 분모의 차수에 관해 위에서 설명한 것과 동일한 규칙을 적용해야 하지만 근이 있는 다항식의 차수는 다르게 계산된다는 점을 고려해야 합니다.

근호가 있는 함수의 무한 극한에 대한 다음 예를 살펴보십시오.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

분자의 차수는 2이고 분모의 차수는 4(8/2=4)이므로 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 극한은 0입니다.

지수 함수를 사용한 무한 사이의 무한 불확정성

지수 함수의 증가는 다항 함수의 증가보다 훨씬 크기 때문에 지수 함수의 차수는 다항 함수의 차수보다 크다는 점을 고려해야 합니다.

$\text{exponencial}>\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”> 따라서 무한대로 나눈 불확정성 무한대가 지수 함수가 있는 극한에서 비롯된 경우 분자와 분모의 차수를 설명하는 동일한 규칙을 적용해야 하지만 지수 함수가 다항식보다 더 높은 차수라는 점을 고려해야 합니다. 또한 나눗셈의 분자와 분모에 지수 함수가 있는 경우 가장 큰 밑을 갖는 지수 함수가 최고차 함수가 됩니다. <p class=$ $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

이 예에서 분모는 지수 함수로 구성되므로 분자보다 더 높은 차수입니다. 따라서 무한대 사이의 부정 형태 무한대는 0을 제공합니다.

무한 마이너스 무한 불확정성

무한 빼기 무한 불확정성을 푸는 것은 함수에 분수가 있는지 근이 있는지에 따라 달라집니다. 따라서 서로 다른 두 가지 경우에 대해 이러한 유형의 불확정성을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

불확정성 무한 – 분수 포함 무한

대수 분수의 덧셈이나 뺄셈에서 무한 마이너스 무한 불확정성이 발생하면 먼저 분수의 덧셈이나 뺄셈을 한 다음 극한을 계산해야 합니다.

예제를 단계별로 풀어 분수가 있는 함수에서 불확정성 무한대 빼기 무한대를 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

먼저 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

그러나 우리는 불확정성 -0을 얻습니다.

먼저 분수를 빼야 합니다. 이를 위해 분수를 공통 분모로 줄입니다. 즉, 한 분수의 분자와 분모에 다른 분수의 분모를 곱합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

이제 두 분수의 분모가 동일하므로 이를 하나의 분수로 결합할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

분자와 분모에 대해 연산을 수행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

마지막으로 한계를 다시 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

이 경우, 분자의 차수가 분모의 차수보다 크기 때문에 무한대 사이의 무한 불확정성은 +무한대를 제공합니다.

불확정성 무한 – 근이 있는 무한

근수 덧셈이나 뺄셈에서 무한 마이너스 무한 불확정성이 발생하는 경우 먼저 함수를 켤레 근수 표현식으로 곱하고 나눈 다음 극한을 풀어야 합니다.

단계별 예를 따라 비합리 함수에서 불확정성 무한대 빼기 무한대를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

먼저 근호를 사용하여 함수의 극한을 해결하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

그러나 우리는 불확정 형태 -0을 얻습니다. 따라서 얼마나 많은 불확정성이 무한대에서 무한대를 뺀 것인지 알기 위해서는 설명된 절차를 적용해야 합니다.

함수에 근호가 있으므로 전체 함수를 공액 무리수 표현식으로 곱하고 나눕니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

분자의 대수적 표현은 합과 차이의 곱의 주목할만한 동일성에 해당하므로 표현을 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

이제 극한이 제곱되었으므로 극한의 근을 단순화합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

우리는 분수의 분자에 대해 연산을 수행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

마지막으로 한계 계산을 다시 실행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

따라서 극한의 결과는 0입니다. 왜냐하면 무한대로 나눈 모든 숫자는 0과 같기 때문입니다.

무한대의 한계에 대한 해결 연습

연습 1

그래프 함수의 다음 한계를 찾으십시오.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$

솔루션 보기

x가 음의 무한대와 양의 무한대를 향할 때 함수의 극한은 1입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

x=-1 점에서 왼쪽과 오른쪽에 있는 함수의 측면 한계는 각각 플러스 무한대와 마이너스 무한대입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$

마지막으로, x가 1로 경향일 때 함수의 측면 한계는 마이너스 무한대와 플러스 무한대의 가치가 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$

연습 2

x가 다음 함수의 더하기 무한대에 접근할 때 극한을 풉니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)$

솔루션 보기

무한대의 극한을 풀려면 x를 다항식의 최고 차수 항에서 무한대로 바꿔야 합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}$

연습 3

다음 다항식 함수의 무한대 극한을 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)$

솔루션 보기

무한대의 극한을 풀기 위해 x를 다항식의 최고 차수 항에서 무한대로 바꾸고 계산을 수행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

연습 4

다음 다항식 함수의 최소 무한 극한을 푼다:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)$

솔루션 보기

무한대의 극한을 계산하기 위해 x를 다항식의 최고 차수 항에서 마이너스 무한대로 바꾸고 함수를 평가합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}$

음의 무한대는 제곱되므로 무한대의 부호는 양수가 됩니다.

연습 5

다음 유리 함수의 무한대에서의 극한을 구합니다:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}$

솔루션 보기

무한대의 극한을 결정하기 위해 분수의 분자와 분모의 최고 차수의 항에서 x를 플러스 무한대로 대체합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}$

플러스나 마이너스 무한대로 나눈 모든 숫자는 0과 같다는 것을 기억하세요.

연습 6

무한대에서 다음 극한을 푼다:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)$

솔루션 보기

x가 함수의 ±에 가까워지는 경우의 극한을 계산하려면 함수의 최고 차수에 대한 단항식을 살펴보세요.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}$

연습 7

x가 음의 무한대에 가까워질 때 다음 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)$

솔루션 보기

이 경우 2차 항을 무한대로 대체하는 것으로 충분합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

연습 8

x가 무한대에 접근할 때 다음 지수 함수의 극한을 구합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x$

솔루션 보기

지수 함수이기는 하지만 극한을 푸는 과정은 동일합니다. 즉, x를 무한대로 대체합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}$

연습 9

다음 지수 함수의 무한 극한을 풉니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}$

솔루션 보기

이 한계를 해결하려면 분수의 속성을 사용해야 합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}$

연습 10

무한대에서 다음 극한을 푼다:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

솔루션 보기

극한은 플러스 무한대 사이에서 불확정성 마이너스 무한대를 제공합니다. 분자의 차수는 분모의 차수보다 크므로 부정한계는 플러스 무한대와 같습니다. 그러나 나눗셈은 양의 무한대로 음의 무한대이므로 결과는 음의 무한대가 됩니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

연습 11

다음 불확실한 한도를 수정하세요.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

솔루션 보기

이 문제에서 무한대에 대한 무한대 형식의 무한대는 동일한 차수의 두 다항식의 몫에서 얻어지므로 부정한 극한의 결과는 주요 계수를 나누는 것입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

연습 12

다음 극한을 최소한 무한대로 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

솔루션 보기

분자의 대수적 표현 정도는 분모의 표현 정도보다 작으므로 불확정성 +/+=는 0이 됩니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

연습 13

근이 있는 함수의 다음 불확정 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

솔루션 보기

분자의 표현은 근호 아래에 있으므로 그 차수는 7/3입니다. 반면, 분모 다항식은 2차입니다. 그리고 7/3>2이므로 극한은 더 많은 무한대를 제공합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

연습 14

분수를 사용하여 다음 함수의 무한한 극한을 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

솔루션 보기

이 연습에서 우리는 불확정성 마이너스 무한대를 분모 차수보다 큰 분자 차수를 사용하여 마이너스 무한대로 나눈 값을 얻습니다. 따라서 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

연습 15

다음 함수의 최소 무한 극한을 구합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

솔루션 보기

분모 다항식은 2차이고, 분자 다항식은 선형입니다. 그러므로 무한 불확정성을 무한대로 나누면 0이 됩니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

연습 16

다음 함수의 최소 무한 극한을 푼다:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

솔루션 보기

분자는 분모보다 1도 더 크므로 불확정 형식인 무한대/무한대의 결과는 무한대가 됩니다. 또한 음수 사이의 양수가 음수로 변환되므로 무한대 기호는 음수가 됩니다.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

연습 17

무한대에서 다음 극한을 푼다:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

솔루션 보기

지수 함수는 다항 함수보다 차수가 높으므로 극한은 무한대를 제공합니다. 그러나 양수를 음수로 나누면 무한대 기호는 음수가 됩니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

연습 18

제곱근을 사용하여 다음 함수의 무한 극한을 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}$

솔루션 보기

분자는 제곱근으로 구성되므로 그 차수는 2/2=1입니다. 그러면 분자의 차수는 분모의 차수와 같으므로 무한대 사이의 무한 불확정성은 다음과 같이 해결됩니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}$

연습 19

두 개의 근호를 사용하여 다음 함수의 무한 극한을 푼다:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

솔루션 보기

분자의 차수는 7/3=2.33이고 분모의 차수는 5/2=2.5입니다. 따라서 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 무한대 사이의 불확정 무한 극한은 0입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

연습 20

다음 한도를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

솔루션 보기

분자의 차수에 관계없이 분모에 지수 함수가 있으므로 무한대에 대한 무한 형식의 부정형 결과는 0입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

연습 21

다음 유리 함수의 무한한 극한을 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

솔루션 보기

먼저, 함수에 무한대를 대입하여 극한을 계산하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

그러나 우리는 불확정성 – 를 발견합니다. 따라서 분수를 공통 분모로 줄입니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

이제 두 분수의 분모가 동일하므로 이를 하나의 분수로 결합할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

분자에 괄호를 만듭니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

마지막으로 한계를 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

이 경우, 분자의 차수는 분모의 차수보다 크기 때문에 불확정 /0는 + 를 제공합니다.

연습 22

x가 0에 가까워질 때 다음 분수 함수의 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

솔루션 보기

먼저 평소와 같이 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

그러나 우리는 불확정 형태인 무엇을 얻습니까? 따라서 함수의 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다.

이 경우 x ⁴ 는 x ² 의 배수이므로 두 번째 분수의 분자와 분모에 x ² 를 곱하면 두 분수의 분모가 동일해집니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

이제 두 분수를 뺄 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

우리는 한도를 다시 해결하려고 시도합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

그러나 우리는 0부터 시작하는 상수의 불확정성으로 끝납니다. 따라서 함수의 측면 한계를 계산하는 것이 필요합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

결론적으로, 점 x=0에서 함수의 두 측면 극한은 -무한을 제공하므로 극한의 해는 -무한입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

연습 23

근을 사용하여 다음 함수의 무한 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)$

솔루션 보기

극한을 풀려고 하면 불확정성 무한대 빼기 무한대를 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}$

따라서 함수에 근수가 있으므로 공액 근수 표현으로 곱하고 나누어야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

분자에는 합과 차이의 눈에 띄는 곱이 있는데, 이는 제곱의 차이와 같습니다. 아직:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

근호를 제곱으로 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

우리는 분자에 대해 작업합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

그리고 마침내 우리는 한계를 발견했습니다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

이 경우, 분자의 차수가 분모의 차수보다 크기 때문에 무한대로 나눈 불확정성 무한대는 더 무한합니다(제곱근은 차수를 2로 줄인다는 점을 기억하세요:

$\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$

연습 24

x가 다음 무리 함수의 무한대에 접근할 때 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)$

솔루션 보기

먼저 평소와 같이 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}$

그러나 이는 무한대의 차이를 불확정하게 만듭니다. 따라서 함수에 근이 있으므로 표현식을 공액근수로 곱하고 나누어야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 분수 분자의 눈에 띄는 동등성을 그룹화합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 제곱근을 푼다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 차이의 제곱에 대한 주목할 만한 항등식을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 분자에 대해 작업합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

마지막으로 무한대의 극한 값을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =$

분모에 x 제곱이 있더라도 루트 안에 있기 때문에 차수는 실제로 1입니다.

$\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .$

따라서 불확정성 -무한화/+무한의 결과는 분자의 차수가 분모의 차수와 동일하기 때문에 가장 높은 차수의 x 계수를 나눈 것입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}$

분모에는 2개의 1차 항이 있으므로 주의하세요.

$\bigl(2x$

그리고

$\sqrt{4x^2}\bigr)$

, 불확정성 -무한대/+무대를 해결하려면 1차 항의 모든 계수를 취해야 합니다. 즉

$2$

~의

$2x$

그리고

$\sqrt{4}$

~의

$\sqrt{4x^2}.$

연습 25

x가 분수를 사용하여 다음 함수 중 1에 접근할 때 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

솔루션 보기

극한을 만들려고 하면 무한대 빼기 무한대의 불확정 극한을 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}$

따라서 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다. 즉, 한 분수의 분자와 분모에 다른 분수의 분모를 곱해야 합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}$

이제 두 분수의 분모가 같으므로 합칠 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}$

우리는 다음을 운영합니다:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}$

그리고 우리는 다시 한 번 한계를 해결하려고 노력합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}$

그러나 우리는 불확정성 0을 0으로 나눈 값을 찾습니다. 그러므로 우리는 분자와 분모의 다항식을 인수분해해야 합니다:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$

이제 분자와 분모에서 반복되는 인수를 제거하여 분수를 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}$

마지막으로 한계를 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}$

무한대로 제한

x가 무한대에 가까워질 때 함수의 극한

무한대의 한계를 해결하는 방법

무한대 극한의 예

무한대에 대한 미확인 한계

무한 사이의 무한한 불확정성

근과 무한 사이의 무한 불확정성

지수 함수를 사용한 무한 사이의 무한 불확정성

무한 마이너스 무한 불확정성

불확정성 무한 – 분수 포함 무한

불확정성 무한 – 근이 있는 무한

무한대의 한계에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

연습 8

연습 9

연습 10

연습 11

연습 12

연습 13

연습 14

연습 15

연습 16

연습 17

연습 18

연습 19

연습 20

연습 21

연습 22

연습 23

연습 24

연습 25

댓글 달기 댓글 취소