Weierstrass의 정리

이 기사에서는 Weierstrass 정리의 정의를 찾을 수 있습니다. 또한, Weierstrass 정리를 단계별로 풀어내는 여러 연습문제를 통해 실습을 통해 완벽하게 이해할 수 있게 됩니다.

Weierstrass의 정리에 대한 설명

Weierstrass의 정리에 따르면 함수가 닫힌 구간에서 연속인 경우 해당 함수는 해당 구간에서 절대 최대값과 절대 최소값을 갖습니다.

➤ 참고: 연속함수란 무엇입니까?

Weierstrass의 정리는 최대값과 최소값이 있다는 것만 명시하고 이러한 점의 값을 계산하는 것은 유용하지 않습니다.

예를 들어, 위에 그래프로 표시된 함수는 구간 [a,b]에서 연속이고 이 구간에서 최소값과 최대값을 갖습니다. 이 두 점의 정확한 좌표를 알 수는 없지만 함수의 구간에 이 두 끝점이 있다는 것을 알고 있습니다.

➤ 참조: 함수의 최대값과 최소값을 계산하는 방법

함수가 전체 간격에 걸쳐 연속적이므로 동일한 간격에 걸쳐 절대 최소값과 절대 최대값 사이의 가능한 모든 값도 취하게 됩니다.

또한 Weierstrass 정리의 결과로 닫힌 구간의 모든 연속 함수는 위와 아래의 경계를 가지며 함수의 상한과 하한은 각각 절대 최대값과 최소값임을 추론할 수 있습니다.

수학적으로 Weierstrass의 정리는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)$

금

$x_1$

그리고

$x_2$

닫힌 구간에 포함된 두 점(각각 절대 최소값과 절대 최대값)입니다.

$[a,b]$

함수가 정의되어 있는 곳입니다.

Weierstrass 정리의 증명은 상당히 복잡하고 개념에 많은 기여를 하지 않으므로 이 기사에서는 설명하지 않습니다. 중요한 것은 Weierstrass 정리가 무엇인지, 그리고 그것이 어디에 사용되는지 이해하는 것입니다.

Weierstrass 정리로 문제 해결

연습 1

다음 함수가 제안된 구간에 제한되어 있는지 확인합니다.

$f(x)=\log_3(x-4) \qquad x \in [5,10]$

➤ 참고: 로그 함수의 영역

해결책 보기

Weierstrass 정리를 적용하여 함수가 구간 [5,10]에 국한되어 있는지 확인할 수 있습니다. 따라서 우리는 함수가 이 구간에서 연속인지 알아야 합니다. 이를 위해 로그 함수의 영역을 계산합니다.

$x-4>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”73″ style=”vertical-align: -2px;”> 4″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”43″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ $\text{Dom } f = (4,+\infty)$