두 선 사이의 각도(공식)

이 페이지에서는 두 선 사이의 각도(공식)를 계산하는 방법에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한 여러 가지 예를 볼 수 있으며, 추가로 단계별로 문제를 풀어서 연습할 수도 있습니다.

두 선 사이의 각도는 얼마입니까?

두 선 사이의 각도는 두 선 사이의 가장 작은 각도입니다.

평면도에는 사이의 각도에 따라 교차선(0°~90°), 수직선(90°), 평행선(0°), 일치하는 선(0°)의 네 가지 유형의 선이 있습니다.

교차선

교차선은 0°에서 90° 사이의 예각으로 교차합니다.

수직 직선

수직선은 90°의 직각으로 교차합니다.

평행선

평행선은 서로 닿지 않으며 그 사이의 각도가 0도가 되지 않습니다.

일치하는 선

일치하는 두 선은 모든 점을 공유하므로 두 선 사이의 각도는 항상 0°입니다.

결론적으로 두 개의 평행선, 일치선 또는 수직선 사이의 각도 계산은 즉각적입니다. 평행선과 일치선은 동일한 방향을 갖기 때문에 0도의 각도를 형성하고 수직선은 90도의 각도로 교차합니다. . 반면, 교차하는 두 선 사이의 각도를 찾으려면 공식을 적용해야 합니다(아래에서 살펴보겠습니다).

두 선 사이의 각도는 어떻게 계산되나요?

두 선 사이의 각도를 계산하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 각 선의 방향 벡터를 사용하고 두 번째 방법은 각 선의 기울기를 기반으로 합니다.

어느 절차도 다른 절차보다 낫지 않습니다. 사실 둘 다 매우 쉽지만 선을 표현하는 방법에 따라 한 가지 방법 또는 다른 방법이 실용적입니다. 따라서 두 가지 수학적 방법을 모두 사용하는 방법을 아는 것이 좋습니다.

선 벡터 방향 지정 방법

방향 벡터를 사용하여 두 선 사이의 각도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

서로 다른 두 선의 방향 벡터가 주어지면:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

이 두 선 사이의 각도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

금

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

벡터의 모듈입니다

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

각기.

벡터의 크기를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

예를 들어 두 선 사이의 각도를 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 두 선 사이의 각도를 계산합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=2-3t \\[2ex]y=1+4t \end{cases} \qquad s: \ 2x-5y+7=0$

두 선 사이의 각도를 계산하려면 먼저 각 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다.

권리

$r$

는 파라메트릭 방정식 의 형태로 표현되므로 방향을 표시하는 벡터의 구성 요소는 다음과 같습니다.

$\vv{r} = (-3,4)$

그리고 법

$\displaystyle s$

암시적(또는 일반) 방정식의 형태로 정의되므로 방향 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

$\vv{s} = (-B,A)$

$\vv{s} = (5,2)$

이제 각 선의 방향 벡터를 알았으므로 두 선 사이의 각도 공식을 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

따라서 두 벡터의 크기를 결정합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{(-3)^2+4^2}= 5$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{5^2+2^2}= \sqrt{29}$

각도 공식의 벡터 연산을 수행합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(-3,4) \cdot (5,2)\rvert}{5 \cdot \sqrt{29}}= \cfrac{\lvert-3 \cdot 5 + 4\cdot 2\rvert}{26,93} = \cfrac{7}{26,93} = 0,26$

그리고 마지막으로 코사인의 역수와 두 선이 이루는 각도를 계산합니다.

$\alpha= \text{cos}^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

키가 있는 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산할 수 있다는 것을 기억하세요

$\boxed{\cos ^{-1}}.$

경사법

당연히 이 방법을 이해하려면 선의 기울기를 알아야 합니다. 링크에서 이 개념을 검토할 수 있으며, 여기서는 선의 기울기에 대한 의미, 계산 방법, 예제 및 해결 방법에 대한 자세한 설명을 찾을 수 있습니다.

두 선의 경사면 사이의 각도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

또는 두 개의 서로 다른 줄:

$r_1 : \ y=m_1 x+n_1 \qquad r_2: \ y=m_2 x+n_2$

이 두 선 사이의 각도는 다음 공식으로 결정할 수 있습니다.

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \end{vmatrix}$

금

$m_1$

그리고

$m_2$

선의 기울기입니다

$r_1$

그리고

$r_2$

각기.

예를 들어 기울기를 사용하여 두 선 사이의 각도를 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 두 선 사이의 각도를 구합니다.

$\displaystyle r: \ y=4x-2 \qquad s: \ y=-3x+1$

각 선의 기울기는 변수 앞의 숫자입니다.

$x:$

$m_r = 4$

$m_s = -3$

따라서 두 선 사이의 각도는 기울기 공식을 적용하여 구할 수 있습니다.

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{m_s-m_r}{1+m_r\cdot m_s} \end{vmatrix}$

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{-3-4}{1+4\cdot (-3)} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cfrac{-7}{-11} \end{vmatrix} = 0,64$

그리고 마지막으로 탄젠트의 역수로 각도를 구합니다.

$\alpha= \text{tg}^{-1}(0,64) = \bm{32,62º}$

키를 사용하여 계산기를 사용하여 탄젠트의 역수를 계산할 수 있음을 기억하십시오.

$\boxed{\tan ^{-1}}.$

방금 두 선의 기울기를 명시적 방정식으로 표현한 예를 보았지만 점 기울기 방정식 의 형태라면 이와 동일한 절차를 사용해야 합니다.

두 선 사이의 각도 문제 해결

연습 1

다음 두 선이 이루는 각도를 결정합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+t \\[2ex]y=-3-2t \end{cases} \qquad s: \ \begin{cases} x=4t \\[2ex]y=-1-t \end{cases}$

해결책 보기

이 경우 방향 벡터 방법을 사용하겠습니다. 따라서 먼저 각 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 두 선 모두 매개변수 방정식으로 표현되므로 방향 벡터의 구성 요소는 매개변수 앞의 항입니다.

$t:$

$\vv{r} = (1,-2)$

$\vv{s} = (4,-1)$

이제 각 선의 방향 벡터를 알았으므로 두 선 사이의 각도 공식을 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

따라서 두 벡터의 크기를 결정합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{1^2+(-2)^2}= \sqrt{5}$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

분자의 두 벡터와 분모 모듈의 곱셈 사이의 스칼라 곱을 해결합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(1,-2) \cdot (4,-1)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}}= \cfrac{\lvert 1 \cdot 4 + (-2)\cdot (-1)\rvert}{9,22} = \cfrac{6}{9,22} = 0,65$

그리고 마지막으로 코사인의 역수를 계산하여 두 선이 이루는 각도를 찾습니다.

$\alpha= \text{cos}^{-1}(0,65) = \bm{49,40º}$

연습 2

다음 두 선 사이의 각도를 구합니다.

$\displaystyle r: \ -3x+4y+1=0 \qquad s: \ \cfrac{x-1}{6} = \cfrac{y+5}{3}$

해결책 보기

방향 벡터 방법을 사용하여 이 문제를 해결할 것이므로 먼저 각 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 권리

$r$

방향을 표시하는 벡터의 구성요소는 다음과 같이 일반(또는 암시적) 방정식의 형태로 표현됩니다.

$\vv{r} = (-B,A)$

$\vv{r} = (-4,-3)$

그리고 법

$\displaystyle s$

는 연속 방정식의 형태로 정의되므로 방향 벡터의 데카르트 좌표는 분모의 숫자입니다.

$\vv{s} = (6,3)$

각 선의 방향 벡터를 알고 나면 두 선 사이의 각도에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

따라서 우리는 두 벡터의 모듈을 결정합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}= 5$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{6^2+3^2}= \sqrt{45}$

각도 공식의 벡터 간 연산을 수행합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(-4,-3) \cdot (6,3)\rvert}{5 \cdot \sqrt{45}}= \cfrac{\lvert -4 \cdot 6 + (-3)\cdot 3\rvert}{33,54} = \cfrac{33}{33,54} = 0,98$