▷ 두 벡터 사이의 각도는 어떻게 계산되나요? (공식) ✅

이 페이지에서는 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알아봅니다. 또한 예제도 볼 수 있으며 연습 문제와 단계별로 해결되는 문제를 통해 연습할 수 있습니다.

두 벡터 사이의 각도 공식

내적의 정의를 기억하면 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

이 동등성으로부터 우리는 두 벡터에 의해 형성된 각도를 직접 찾는 데 도움이 되는 공식을 얻을 수 있습니다.

두 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인은 두 벡터의 모듈러스 곱으로 나눈 두 벡터 사이의 내적과 같습니다.

즉, 두 벡터가 이루는 각도를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

따라서 두 벡터가 이루는 각도를 찾으려면 벡터의 크기를 계산하는 방법을 아는 것이 중요합니다. 이 링크에서는 벡터 모듈에 대한 공식, 예제 및 해결 연습문제를 찾을 수 있으므로 이 벡터 연산을 아직 마스터하지 않았다면 한 번 살펴보는 것이 좋습니다.

이 공식은 평면(R2)과 공간(R3) 모두에 적용됩니다. 즉, 2성분 또는 3성분 벡터에 대해 이를 상호 교환적으로 사용할 수 있습니다.

그러나 때로는 벡터 사이의 각도를 추론할 수 있기 때문에 이 공식을 적용할 필요가 없습니다.

방향이 같은 두 수직 벡터 사이의 각도는 0°입니다.
두 직교 (또는 수직) 벡터 사이의 각도는 90°입니다.

두 벡터 사이의 각도를 찾는 방법의 예

예를 들어, 다음 두 벡터가 이루는 각도를 계산해 보겠습니다.

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

먼저 각 벡터의 모듈을 계산해야 합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

이제 공식을 사용하여 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 해당 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

따라서 두 벡터는 81.95°의 각도를 형성합니다.

벡터 사이의 각도에 대한 해결 연습

연습 1

다음 두 벡터 사이의 각도를 계산합니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

솔루션 보기

우선 두 벡터의 모듈러스를 계산해야 합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

공식을 사용하여 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 해당 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

연습 2

다음 두 벡터 사이에 존재하는 각도를 결정합니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

솔루션 보기

우선 벡터의 모듈을 찾아야 합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

우리는 공식을 사용하여 벡터가 갖는 각도의 코사인을 얻습니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

그리고 마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 해당 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

연습 3

가치를 계산하다

$k$

따라서 다음 벡터는 수직이 됩니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

솔루션 보기

두 개의 수직 벡터는 90°의 각도를 형성합니다. 아직:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

분수의 분모는 방정식의 오른쪽 전체를 나누므로 반대쪽을 곱할 수 있습니다.

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

이제 우리는 내적을 푼다:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

그리고 마지막으로 우리는 미스터리를 해결합니다.

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

연습 4

상수가 가져야 하는 값 찾기

$a$

그리고

$b$

따라서 다음 벡터는 수직이고 또한 이는 참입니다.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

솔루션 보기

먼저 모듈러스 조건을 사용하여 값을 찾습니다.

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

제곱근을 제거하기 위해 방정식의 양쪽 변을 올리면 다음과 같습니다.

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

그리고 우리는 미스터리를 해결합니다:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

우리가 그 가치를 알고 나면

$a$

, 값을 찾으십시오.

$b$

두 벡터의 각도에 대한 공식을 적용하면 두 벡터가 수직이어야 한다는 것을 알 수 있으므로 두 벡터는 90°를 형성해야 합니다.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

분수의 분모는 방정식의 오른쪽 전체를 나누므로 반대쪽을 곱할 수 있습니다.

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

이제 내적을 풀어보겠습니다.

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

그리고 마지막으로 우리는 미스터리를 해결합니다.

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

연습 5

각도 계산

$\alpha , \beta$

그리고

$\gamma$

이는 다음 삼각형의 변을 형성합니다.

솔루션 보기

삼각형을 구성하는 꼭지점은 다음과 같습니다.

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

삼각형의 내각을 계산하려면 각 변의 벡터를 계산한 다음 내적 공식을 사용하여 삼각형이 형성하는 각도를 찾을 수 있습니다.

예를 들어 각도를 구하려면

$\alpha$

측면의 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

그리고 스칼라 곱 공식을 사용하여 두 벡터가 형성하는 각도를 찾습니다.

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

이제 각도를 결정하기 위해 동일한 절차를 반복합니다.

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

마지막으로 마지막 각도를 찾기 위해 동일한 절차를 반복할 수 있습니다. 그러나 삼각형의 모든 각도의 합은 180도가 되어야 하므로 다음과 같습니다.

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

두 벡터 사이의 각도 공식

두 벡터 사이의 각도를 찾는 방법의 예

벡터 사이의 각도에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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