두 벡터의 내적을 계산합니다.

이 페이지에서는 그것이 무엇인지, 그리고 두 벡터의 내적을 계산하는 방법을 볼 수 있습니다. 또한 내적을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 찾는 방법과 내적의 모든 속성을 배우게 됩니다. 마지막으로, 단계별로 해결되는 예제와 연습문제를 통해 연습할 수 있습니다.

두 벡터 사이의 내적을 계산하는 방법

수학에서 내적은 두 벡터를 곱하여 실수로 변환하는 벡터 연산입니다. 따라서 두 벡터의 내적을 계산하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

두 벡터의 좌표를 알고 있다면 X와 Y 구성 요소를 곱한 다음 결과를 더하여 내적을 찾을 수 있습니다. 즉, 두 개의 벡터가 있는 경우:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

이들 사이의 스칼라 곱은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

예를 들어, 다음 두 벡터 사이의 내적은 다음과 같습니다.

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

두 벡터 사이의 내적을 구하는 방법입니다. 그러나 또 다른 방법도 있습니다:

반면, 모듈과 두 벡터 사이의 각도를 알고 있다면 두 벡터 사이의 스칼라 곱은 모듈이 형성하는 각도의 코사인으로 모듈의 곱을 계산하여 결정할 수 있습니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

금

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

벡터의 모듈입니다

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

각각 그리고

$\alpha$

그들이 만드는 각도.

벡터의 크기는 해당 구성요소의 제곱근이라는 점을 기억하세요.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

예를 들어, 모듈과 그 사이의 각도가 다음과 같은 두 벡터의 스칼라 곱을 풀겠습니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

한편, 내적은 내적(dot product), 스칼라 곱(scalar product), 내적(dot product)이라고도 합니다.

참고: 내적과 외적을 혼동하지 마십시오. 이름은 유사하지만 완전히 다른 개념이기 때문입니다.

내적을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 찾습니다.

내적의 정의를 보면 두 벡터를 곱하는 목적이 무엇인지 궁금할 것입니다. 내적의 응용 중 하나는 두 벡터가 이루는 각도를 계산하는 것입니다.

내적 공식의 코사인을 풀면 다음을 얻습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 벡터 사이의 각도를 구합니다.

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

먼저 두 벡터의 크기를 찾아야 합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

이제 공식을 사용하여 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 해당 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

따라서 벡터는 74.93°의 각도를 형성합니다.

두 벡터의 내적 속성

내적은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

교환 속성 : 벡터가 곱해지는 순서는 중요하지 않습니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

분포 속성 : 내적은 벡터의 덧셈과 뺄셈에 대해 분포적입니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

연관 속성 : 결과가 동일하므로 작업을 수행하기 전이나 후에 내적에 상수를 곱할 수 있습니다.

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

두 벡터가 직교 (또는 수직)인 경우 내적은 0입니다. 이 속성은 두 개의 수직 벡터가 90°의 각도를 이루고 90°의 코사인은 0과 같기 때문에 쉽게 입증할 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

반대로 두 벡터가 평행 하면 스칼라 곱은 모듈의 곱과 동일합니다. 이 속성은 동일한 방향의 두 벡터가 0°의 각도를 형성하고 코사인이 1이기 때문에 쉽게 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

마지막으로 벡터의 내적은 그 자체로 크기의 제곱과 동일합니다.

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

두 벡터 간의 스칼라 곱 문제 해결

연습 1

다음 두 벡터의 평면에서 내적을 계산합니다.

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

해결책 보기

두 벡터의 내적을 계산하려면 X 좌표와 Y 좌표를 곱한 다음 결과를 추가해야 합니다.

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

연습 2

모듈과 각도가 다음과 같은 두 벡터의 스칼라 곱을 결정합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

해결책 보기

모듈과 모듈 사이의 각도를 알고 있으므로 내적 공식을 직접 적용할 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

연습 3

다음 두 벡터 사이의 각도는 얼마입니까?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

해결책 보기

먼저 두 벡터의 크기를 계산해야 합니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

공식을 사용하여 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

그리고 마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 해당 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

연습 4

다음 두 벡터를 고려하십시오.

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

다음 작업을 계산합니다.

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

해결책 보기

먼저 괄호 안의 내적을 구한 다음 바깥쪽의 내적을 곱해야 합니다.

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

연습 5

다음 세 개의 2차원 벡터가 주어지면:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

다음 작업을 계산합니다.

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

해결책 보기

먼저 벡터에 괄호 안의 스칼라를 곱합니다.

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

이제 벡터 빼기를 수행합니다.

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

그리고 마지막으로 스칼라 곱을 해결합니다.

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

연습 6

가치를 계산하다

$k$

따라서 다음 벡터는 수직이 됩니다.

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

해결책 보기

두 개의 수직 벡터는 90°의 각도를 형성합니다. 따라서 cos(90°)=0이므로 각도의 코사인은 0이어야 합니다. 아직:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

분수의 분모는 방정식의 오른쪽 전체를 나누기 때문에 다른 쪽을 곱하여 전달할 수 있습니다.

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

이제 스칼라 곱을 해결합니다.

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

그리고 마지막으로 알려지지 않은 사실을 명확히 합니다.

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

연습 7

각도 계산

$\alpha , \beta$

그리고

$\gamma$

이는 다음 삼각형의 변을 형성합니다.

해결책 보기

삼각형을 구성하는 꼭지점은 다음과 같습니다.

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

삼각형의 내각을 계산하려면 각 변의 벡터를 계산한 다음 내적 공식을 사용하여 삼각형이 형성하는 각도를 찾을 수 있습니다.

예를 들어 각도를 구하려면

$\alpha$

측면의 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

그리고 내적 공식을 사용하여 두 벡터가 이루는 각도를 찾습니다.

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

이제 각도를 결정하기 위해 동일한 절차를 반복합니다.

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

마지막으로 마지막 각도를 찾기 위해 동일한 절차를 반복할 수 있습니다. 그러나 삼각형의 모든 각도의 합은 180도가 되어야 하므로 다음과 같습니다.

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

두 벡터 사이의 내적을 계산하는 방법

내적을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 찾습니다.

두 벡터의 내적 속성

두 벡터 간의 스칼라 곱 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

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