동일 평면(또는 동일 평면) 점

이 페이지에서는 동일 평면(또는 동일 평면) 포인트가 무엇인지, 그리고 특정 포인트가 동일 평면에 있는지 여부를 확인하는 방법을 알아봅니다. 또한, 해결된 동일 평면 점 연습을 통해 예제와 연습을 볼 수 있습니다.

동일 평면 점이란 무엇입니까?

해석 형상에서 동일 평면(또는 동일 평면) 점의 의미는 다음과 같습니다.

동일 평면상 점은 동일한 평면에 속하는 점입니다.

따라서 최소 3개의 점으로 평면을 구성할 수 있으므로 2개 또는 3개의 점이 항상 동일 평면상에 있습니다. 반면에 점이 4개, 5개 이상인 경우 점 중 일부가 동일한 평면에 포함되지 않아 동일 평면에 있지 않을 수 있습니다.

예를 들어, 위의 그래픽 표현에서 점 A, C, D 및 F는 동일한 평면에 포함되어 있으므로 서로 동일 평면에 있음을 알 수 있습니다. 반면에 이 4개의 점은 점 B, E, G와 동일 평면상에 있지 않습니다. 왜냐하면 모든 점을 포함하는 공간에는 평면이 형성될 수 없기 때문입니다.

이 속성으로부터 동일 평면 점으로 정의된 벡터가 동일 평면 벡터이기도 함, 즉 동일한 평면에 포함되어 있음을 추론할 수 있습니다.

포인트는 언제 동일 평면에 위치합니까?

동일 평면(또는 동일 평면) 점의 정의에서 보았듯이 2개 또는 3개의 점은 항상 동일 평면에 있지만 3개 이상의 점이 동일 평면 관계를 준수할 필요는 없습니다.

따라서 4개 이상의 점이 동일 평면에 있는지 확인하는 방법은 주로 2가지입니다.

점이 동일 평면에 있는지 확인하는 한 가지 방법은 점에 의해 결정되는 벡터를 사용하는 것입니다. 이러한 벡터가 동일 평면에 있으면 점도 동일 평면에 있습니다.

분명히 이 방법을 적용하려면 벡터가 동일 평면에 있는 때를 알아야 합니다. 그러나 벡터 집합이 동일 평면에 있는지 확인하는 방법도 여러 가지가 있으므로 벡터가 동일 평면에 있는지 확인하는 방법을 확인하는 것이 좋습니다. 여기에서는 2, 3, 4개 이상의 벡터가 동일 평면에 있을 때를 찾기 위해 존재하는 모든 절차와 예제 및 해결 연습을 찾을 수 있습니다.

점 집합이 동일 평면에 있는지를 알 수 있는 또 다른 방법은 집합의 3개 점으로 구성된 평면의 방정식을 찾는 것 입니다. 다른 점이 이 방정식을 만족하면 집합의 모든 점이 동일 평면에 있다는 의미입니다.

문제에 따라 다르지만 두 가지 방법 중 첫 번째 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 평면의 방정식을 계산하는 것보다 벡터가 동일 평면에 있는지 확인하는 것이 훨씬 간단하고 빠르기 때문입니다. 그러나 분명히 원하는 것을 사용하십시오.

동일 평면상의 점 문제 해결

연습 1

다음 세 점이 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$A(3,5,1)$

$B(0,-2,3)$

$C(4,-1,2)$

해결책 보기

이 경우 3개의 점이 항상 동일 평면상에 있기 때문에 계산을 수행할 필요가 없습니다.

연습 2

다음 네 점이 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$A(1,2,0)$

$B(-1,3,4)$

$C(1,0,-1)$

$D(2,5,-3)$

해결책 보기

4개의 점이 동일 평면에 있으려면 해당 점에 의해 결정된 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다. 따라서 우리는 다음 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB} = B- A = (-1,3,4)-(1,2,0) = (-2,1,4)$

$\vv{AC} = C- A = (1,0,-1)-(1,2,0) = (0,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (2,5,-3)-(1,2,0) = (1,3,-3)$

이제 벡터로 구성된 행렬을 구성해 보겠습니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{pmatrix}$

결과 벡터가 동일 평면이 되려면 이전 행렬의 순위가 2와 같아야 합니다. 그리고 이를 위해서는 전체 3×3 행렬의 행렬식이 0과 같아야 합니다.

$rg(A)= \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{vmatrix} =-11\neq 0$

$rg(A)=3$

그러나 전체 행렬의 행렬식은 0이 아니므로 행렬의 순위는 3이므로 4개의 점은 동일 평면에 있지 않습니다 .

연습 3

다음 5개 점이 동일 평면상에 있는지 확인합니다.

$A(3,1,1)$

$B(0,0,2)$

$C(4,-2,-1)$

$D(-1,1,3)$

$E(2,4,3)$

해결책 보기

5개 점이 모두 동일 평면에 있으려면 해당 점으로 정의된 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다. 따라서 우리는 다음 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB} = B- A = (0,0,2)-(3,1,1) = (-3,-1,1)$

$\vv{AC} = C- A = (4,-2,-1)-(3,1,1) = (1,-3,-2)$

$\vv{AD} = D- A = (-1,1,3)-(3,1,1) = (-4,0,2)$

$\vv{AE} = E- A = (2,4,3)-(3,1,1) = (-1,3,2)$

이제 벡터로 구성된 행렬을 구성해 보겠습니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{pmatrix}$

결과 벡터가 동일 평면에 있으려면 이전 행렬의 순위가 2와 같아야 합니다. 따라서 행렬식으로 벡터 행렬의 순위를 계산하여 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$rg(A)= \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1 \\[1.1ex] 1&-3\end{vmatrix} =10\neq 0$

$rg(A)=2$

행렬의 순위는 2와 동일하므로 벡터가 동일 평면에 있으므로 5개 점도 동일 평면에 있습니다.

연습 4

매개변수 값 계산

$k$

따라서 다음 4개의 점이 동일 평면상에 있습니다.

$A(3,1,4)$

$B(2,1,2)$

$C(0,-1,3)$

$D(3,2,k)$

해결책 보기

4개의 점이 동일 평면에 있으려면 해당 점에 의해 결정된 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다. 따라서 우리는 다음 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)$

$\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)$

벡터 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{pmatrix}$

결과 벡터가 동일 평면이 되려면 행렬의 순위가 2여야 합니다. 따라서 전체 3×3 행렬의 행렬식은 0이어야 합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle 2k-3 =0$

마지막으로 미지의 문제를 해결합니다.

$k:$

$2k =3$

$\bm{k =}\mathbf{\cfrac{3}{2}}$

마지막으로, 이 기사가 도움이 되었다면 아마도 두 점 사이의 거리가 어떻게 계산되는지(공식) 에 관심이 있을 것입니다. 왜냐하면 때때로 분석 기하학 문제에서 두 점 사이의 거리가 얼마인지 묻는 질문이 있기 때문입니다. 링크된 페이지에서는 매우 자세한 설명은 물론 단계별로 해결되는 예제와 연습 문제도 볼 수 있습니다.

동일 평면 점이란 무엇입니까?

포인트는 언제 동일 평면에 위치합니까?

동일 평면상의 점 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

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